Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32268 / 37709
↖ ↑ ↗
← S 26.180089°
W  2.746582°		 ← 548.13 m → S 26.180089°
W  2.741089°		 →
↑
548.10 m
↓
↑
548.10 m
↓
S 26.185018°
W  2.746582°		 ← 548.10 m →
300 421 m²		 S 26.185018°
W  2.741089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492378234863281 y=0.575401306152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492378234863281 × 216)
    floor (0.492378234863281 × 65536)
    floor (32268.5)     		tx = 32268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575401306152344 × 216)
    floor (0.575401306152344 × 65536)
    floor (37709.5)     		ty = 37709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32268 / 37709 ti = "16/32268/37709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32268/37709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32268 ÷ 216
    32268 ÷ 65536     		x = 0.49237060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37709 ÷ 216
    37709 ÷ 65536     		y = 0.575393676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49237060546875 × 2 - 1) × π
    -0.0152587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04793690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575393676757812 × 2 - 1) × π
    -0.150787353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.473712442045395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04793690} λ = -0.04793690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.473712442045395))-π/2
    2×atan(0.62268628521986)-π/2
    2×0.556933790051123-π/2
    1.11386758010225-1.57079632675     		φ = -0.45692875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04793690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.746582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45692875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.180089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32268 KachelY 37709 -0.04793690 -0.45692875 -2.746582 -26.180089
    Oben rechts KachelX + 1 32269 KachelY 37709 -0.04784103 -0.45692875 -2.741089 -26.180089
    Unten links KachelX 32268 KachelY + 1 37710 -0.04793690 -0.45701478 -2.746582 -26.185018
    Unten rechts KachelX + 1 32269 KachelY + 1 37710 -0.04784103 -0.45701478 -2.741089 -26.185018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45692875--0.45701478) × R
    8.60300000000147e-05 × 6371000     		dl = 548.097130000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45692875--0.45701478) × R
    8.60300000000147e-05 × 6371000     		dr = 548.097130000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04793690--0.04784103) × cos(-0.45692875) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.897411744966958 × 6371000     		do = 548.128118480165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04793690--0.04784103) × cos(-0.45701478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.89737378572484 × 6371000     		du = 548.104933439321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45692875)-sin(-0.45701478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897411744966958-0.89737378572484)×R²
    abs(-0.04784103--0.04793690)×3.79592421175801e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.79592421175801e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.79592421175801e-05×40589641000000     		ar = 300421.094969443m²