Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32268 / 13812
↖ ↑ ↗
← N 71.545786°
W  2.746582°		 ← 193.34 m → N 71.545786°
W  2.741089°		 →
↑
193.36 m
↓
↑
193.36 m
↓
N 71.544048°
W  2.746582°		 ← 193.36 m →
37 386 m²		 N 71.544048°
W  2.741089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492378234863281 y=0.210762023925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492378234863281 × 216)
    floor (0.492378234863281 × 65536)
    floor (32268.5)     		tx = 32268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210762023925781 × 216)
    floor (0.210762023925781 × 65536)
    floor (13812.5)     		ty = 13812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32268 / 13812 ti = "16/32268/13812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32268/13812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32268 ÷ 216
    32268 ÷ 65536     		x = 0.49237060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13812 ÷ 216
    13812 ÷ 65536     		y = 0.21075439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49237060546875 × 2 - 1) × π
    -0.0152587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04793690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21075439453125 × 2 - 1) × π
    0.5784912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.81738373839557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04793690} λ = -0.04793690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81738373839557))-π/2
    2×atan(6.15573235782923)-π/2
    2×1.40975293395009-π/2
    2.81950586790018-1.57079632675     		φ = 1.24870954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04793690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.746582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24870954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.545786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32268 KachelY 13812 -0.04793690 1.24870954 -2.746582 71.545786
    Oben rechts KachelX + 1 32269 KachelY 13812 -0.04784103 1.24870954 -2.741089 71.545786
    Unten links KachelX 32268 KachelY + 1 13813 -0.04793690 1.24867919 -2.746582 71.544048
    Unten rechts KachelX + 1 32269 KachelY + 1 13813 -0.04784103 1.24867919 -2.741089 71.544048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24870954-1.24867919) × R
    3.03499999998458e-05 × 6371000     		dl = 193.359849999017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24870954-1.24867919) × R
    3.03499999998458e-05 × 6371000     		dr = 193.359849999017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04793690--0.04784103) × cos(1.24870954) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.316546726196189 × 6371000     		do = 193.342868994167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04793690--0.04784103) × cos(1.24867919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.316575515359869 × 6371000     		du = 193.360453063251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24870954)-sin(1.24867919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316546726196189-0.316575515359869)×R²
    abs(-0.04784103--0.04793690)×2.8789163679932e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.8789163679932e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.8789163679932e-05×40589641000000     		ar = 37386.4481765882m²