Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32266 / 37711
↖ ↑ ↗
← S 26.189948°
W  2.757569°		 ← 548.14 m → S 26.189948°
W  2.752075°		 →
↑
548.10 m
↓
↑
548.10 m
↓
S 26.194877°
W  2.757569°		 ← 548.12 m →
300 427 m²		 S 26.194877°
W  2.752075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492347717285156 y=0.575431823730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492347717285156 × 216)
    floor (0.492347717285156 × 65536)
    floor (32266.5)     		tx = 32266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575431823730469 × 216)
    floor (0.575431823730469 × 65536)
    floor (37711.5)     		ty = 37711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32266 / 37711 ti = "16/32266/37711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32266/37711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32266 ÷ 216
    32266 ÷ 65536     		x = 0.492340087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37711 ÷ 216
    37711 ÷ 65536     		y = 0.575424194335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492340087890625 × 2 - 1) × π
    -0.01531982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04812865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575424194335938 × 2 - 1) × π
    -0.150848388671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.473904189643875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04812865} λ = -0.04812865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.473904189643875))-π/2
    2×atan(0.622566898066528)-π/2
    2×0.556847755417161-π/2
    1.11369551083432-1.57079632675     		φ = -0.45710082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04812865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.757569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45710082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.189948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32266 KachelY 37711 -0.04812865 -0.45710082 -2.757569 -26.189948
    Oben rechts KachelX + 1 32267 KachelY 37711 -0.04803277 -0.45710082 -2.752075 -26.189948
    Unten links KachelX 32266 KachelY + 1 37712 -0.04812865 -0.45718685 -2.757569 -26.194877
    Unten rechts KachelX + 1 32267 KachelY + 1 37712 -0.04803277 -0.45718685 -2.752075 -26.194877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45710082--0.45718685) × R
    8.60299999999592e-05 × 6371000     		dl = 548.09712999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45710082--0.45718685) × R
    8.60299999999592e-05 × 6371000     		dr = 548.09712999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04812865--0.04803277) × cos(-0.45710082) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.897335815427631 × 6371000     		do = 548.138910910973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04812865--0.04803277) × cos(-0.45718685) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.897297842901807 × 6371000     		du = 548.115715337374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45710082)-sin(-0.45718685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897335815427631-0.897297842901807)×R²
    abs(-0.04803277--0.04812865)×3.79725258240482e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.79725258240482e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.79725258240482e-05×40589641000000     		ar = 300427.007383207m²