Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32266 / 13834
↖ ↑ ↗
← N 71.507494°
W  2.757569°		 ← 193.75 m → N 71.507494°
W  2.752075°		 →
↑
193.81 m
↓
↑
193.81 m
↓
N 71.505751°
W  2.757569°		 ← 193.77 m →
37 552 m²		 N 71.505751°
W  2.752075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492347717285156 y=0.211097717285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492347717285156 × 216)
    floor (0.492347717285156 × 65536)
    floor (32266.5)     		tx = 32266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211097717285156 × 216)
    floor (0.211097717285156 × 65536)
    floor (13834.5)     		ty = 13834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32266 / 13834 ti = "16/32266/13834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32266/13834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32266 ÷ 216
    32266 ÷ 65536     		x = 0.492340087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13834 ÷ 216
    13834 ÷ 65536     		y = 0.211090087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492340087890625 × 2 - 1) × π
    -0.01531982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04812865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211090087890625 × 2 - 1) × π
    0.57781982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81527451481229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04812865} λ = -0.04812865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81527451481229))-π/2
    2×atan(6.14276222523099)-π/2
    2×1.40941876588227-π/2
    2.81883753176454-1.57079632675     		φ = 1.24804121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04812865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.757569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24804121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.507494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32266 KachelY 13834 -0.04812865 1.24804121 -2.757569 71.507494
    Oben rechts KachelX + 1 32267 KachelY 13834 -0.04803277 1.24804121 -2.752075 71.507494
    Unten links KachelX 32266 KachelY + 1 13835 -0.04812865 1.24801079 -2.757569 71.505751
    Unten rechts KachelX + 1 32267 KachelY + 1 13835 -0.04803277 1.24801079 -2.752075 71.505751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24804121-1.24801079) × R
    3.04200000000865e-05 × 6371000     		dl = 193.805820000551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24804121-1.24801079) × R
    3.04200000000865e-05 × 6371000     		dr = 193.805820000551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04812865--0.04803277) × cos(1.24804121) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.317180617865706 × 6371000     		do = 193.75024985058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04812865--0.04803277) × cos(1.24801079) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.317209466986775 × 6371000     		du = 193.767872378882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24804121)-sin(1.24801079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317180617865706-0.317209466986775)×R²
    abs(-0.04803277--0.04812865)×2.88491210694852e-05×R²
    9.58799999999996e-05×2.88491210694852e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×2.88491210694852e-05×40589641000000     		ar = 37551.6337250673m²