Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32265 / 13831
↖ ↑ ↗
← N 71.512720°
W  2.763061°		 ← 193.68 m → N 71.512720°
W  2.757569°		 →
↑
193.68 m
↓
↑
193.68 m
↓
N 71.510978°
W  2.763061°		 ← 193.69 m →
37 513 m²		 N 71.510978°
W  2.757569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492332458496094 y=0.211051940917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492332458496094 × 216)
    floor (0.492332458496094 × 65536)
    floor (32265.5)     		tx = 32265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211051940917969 × 216)
    floor (0.211051940917969 × 65536)
    floor (13831.5)     		ty = 13831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32265 / 13831 ti = "16/32265/13831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32265/13831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32265 ÷ 216
    32265 ÷ 65536     		x = 0.492324829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13831 ÷ 216
    13831 ÷ 65536     		y = 0.211044311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492324829101562 × 2 - 1) × π
    -0.015350341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04822452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211044311523438 × 2 - 1) × π
    0.577911376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81556213621001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04822452} λ = -0.04822452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81556213621001))-π/2
    2×atan(6.14452926919571)-π/2
    2×1.40946437362872-π/2
    2.81892874725743-1.57079632675     		φ = 1.24813242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04822452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.763061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24813242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.512720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32265 KachelY 13831 -0.04822452 1.24813242 -2.763061 71.512720
    Oben rechts KachelX + 1 32266 KachelY 13831 -0.04812865 1.24813242 -2.757569 71.512720
    Unten links KachelX 32265 KachelY + 1 13832 -0.04822452 1.24810202 -2.763061 71.510978
    Unten rechts KachelX + 1 32266 KachelY + 1 13832 -0.04812865 1.24810202 -2.757569 71.510978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24813242-1.24810202) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dl = 193.678399999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24813242-1.24810202) × R
    3.0399999999986e-05 × 6371000     		dr = 193.678399999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04822452--0.04812865) × cos(1.24813242) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.31709411616124 × 6371000     		do = 193.67720809024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04822452--0.04812865) × cos(1.24810202) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317122947194593 × 6371000     		du = 193.694817732809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24813242)-sin(1.24810202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31709411616124-0.317122947194593)×R²
    abs(-0.04812865--0.04822452)×2.88310333527164e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.88310333527164e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.88310333527164e-05×40589641000000     		ar = 37512.7970860555m²