Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32263 / 13829
↖ ↑ ↗
← N 71.516204°
W  2.774048°		 ← 193.66 m → N 71.516204°
W  2.768554°		 →
↑
193.68 m
↓
↑
193.68 m
↓
N 71.514462°
W  2.774048°		 ← 193.68 m →
37 510 m²		 N 71.514462°
W  2.768554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492301940917969 y=0.211021423339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492301940917969 × 216)
    floor (0.492301940917969 × 65536)
    floor (32263.5)     		tx = 32263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211021423339844 × 216)
    floor (0.211021423339844 × 65536)
    floor (13829.5)     		ty = 13829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32263 / 13829 ti = "16/32263/13829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32263/13829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32263 ÷ 216
    32263 ÷ 65536     		x = 0.492294311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13829 ÷ 216
    13829 ÷ 65536     		y = 0.211013793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492294311523438 × 2 - 1) × π
    -0.015411376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04841627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211013793945312 × 2 - 1) × π
    0.577972412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.81575388380849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04841627} λ = -0.04841627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81575388380849))-π/2
    2×atan(6.14570758089248)-π/2
    2×1.40949477188221-π/2
    2.81898954376442-1.57079632675     		φ = 1.24819322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04841627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.774048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24819322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.516204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32263 KachelY 13829 -0.04841627 1.24819322 -2.774048 71.516204
    Oben rechts KachelX + 1 32264 KachelY 13829 -0.04832039 1.24819322 -2.768554 71.516204
    Unten links KachelX 32263 KachelY + 1 13830 -0.04841627 1.24816282 -2.774048 71.514462
    Unten rechts KachelX + 1 32264 KachelY + 1 13830 -0.04832039 1.24816282 -2.768554 71.514462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24819322-1.24816282) × R
    3.0400000000208e-05 × 6371000     		dl = 193.678400001325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24819322-1.24816282) × R
    3.0400000000208e-05 × 6371000     		dr = 193.678400001325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04841627--0.04832039) × cos(1.24819322) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.317036453215424 × 6371000     		do = 193.662186660592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04841627--0.04832039) × cos(1.24816282) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.317065284834841 × 6371000     		du = 193.679798497984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24819322)-sin(1.24816282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317036453215424-0.317065284834841)×R²
    abs(-0.04832039--0.04841627)×2.88316194176352e-05×R²
    9.58799999999996e-05×2.88316194176352e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×2.88316194176352e-05×40589641000000     		ar = 37509.8879724416m²