Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32262 / 13822
↖ ↑ ↗
← N 71.528390°
W  2.779541°		 ← 193.52 m → N 71.528390°
W  2.774048°		 →
↑
193.55 m
↓
↑
193.55 m
↓
N 71.526650°
W  2.779541°		 ← 193.54 m →
37 457 m²		 N 71.526650°
W  2.774048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492286682128906 y=0.210914611816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492286682128906 × 216)
    floor (0.492286682128906 × 65536)
    floor (32262.5)     		tx = 32262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210914611816406 × 216)
    floor (0.210914611816406 × 65536)
    floor (13822.5)     		ty = 13822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32262 / 13822 ti = "16/32262/13822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32262/13822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32262 ÷ 216
    32262 ÷ 65536     		x = 0.492279052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13822 ÷ 216
    13822 ÷ 65536     		y = 0.210906982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492279052734375 × 2 - 1) × π
    -0.01544189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.04851214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210906982421875 × 2 - 1) × π
    0.57818603515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.81642500040317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04851214} λ = -0.04851214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81642500040317))-π/2
    2×atan(6.14983345155135)-π/2
    2×1.40960112224543-π/2
    2.81920224449086-1.57079632675     		φ = 1.24840592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04851214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.779541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24840592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.528390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32262 KachelY 13822 -0.04851214 1.24840592 -2.779541 71.528390
    Oben rechts KachelX + 1 32263 KachelY 13822 -0.04841627 1.24840592 -2.774048 71.528390
    Unten links KachelX 32262 KachelY + 1 13823 -0.04851214 1.24837554 -2.779541 71.526650
    Unten rechts KachelX + 1 32263 KachelY + 1 13823 -0.04841627 1.24837554 -2.774048 71.526650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24840592-1.24837554) × R
    3.03799999998855e-05 × 6371000     		dl = 193.550979999271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24840592-1.24837554) × R
    3.03799999998855e-05 × 6371000     		dr = 193.550979999271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04851214--0.04841627) × cos(1.24840592) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.316834718525284 × 6371000     		do = 193.518771186646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04851214--0.04841627) × cos(1.24837554) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.316863533224703 × 6371000     		du = 193.536370852647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24840592)-sin(1.24837554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316834718525284-0.316863533224703)×R²
    abs(-0.04841627--0.04851214)×2.88146994187333e-05×R²
    9.58700000000048e-05×2.88146994187333e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×2.88146994187333e-05×40589641000000     		ar = 37457.4510307378m²