Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32258 / 15882
↖ ↑ ↗
← N 67.588287°
W  2.801514°		 ← 232.89 m → N 67.588287°
W  2.796020°		 →
↑
232.92 m
↓
↑
232.92 m
↓
N 67.586192°
W  2.801514°		 ← 232.91 m →
54 249 m²		 N 67.586192°
W  2.796020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492225646972656 y=0.242347717285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492225646972656 × 216)
    floor (0.492225646972656 × 65536)
    floor (32258.5)     		tx = 32258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242347717285156 × 216)
    floor (0.242347717285156 × 65536)
    floor (15882.5)     		ty = 15882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32258 / 15882 ti = "16/32258/15882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32258/15882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32258 ÷ 216
    32258 ÷ 65536     		x = 0.492218017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15882 ÷ 216
    15882 ÷ 65536     		y = 0.242340087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492218017578125 × 2 - 1) × π
    -0.01556396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04889564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242340087890625 × 2 - 1) × π
    0.51531982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.61892497396854
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04889564} λ = -0.04889564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61892497396854))-π/2
    2×atan(5.04766103176834)-π/2
    2×1.37521723256884-π/2
    2.75043446513768-1.57079632675     		φ = 1.17963814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04889564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.801514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17963814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.588287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32258 KachelY 15882 -0.04889564 1.17963814 -2.801514 67.588287
    Oben rechts KachelX + 1 32259 KachelY 15882 -0.04879976 1.17963814 -2.796020 67.588287
    Unten links KachelX 32258 KachelY + 1 15883 -0.04889564 1.17960158 -2.801514 67.586192
    Unten rechts KachelX + 1 32259 KachelY + 1 15883 -0.04879976 1.17960158 -2.796020 67.586192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17963814-1.17960158) × R
    3.65600000000743e-05 × 6371000     		dl = 232.923760000473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17963814-1.17960158) × R
    3.65600000000743e-05 × 6371000     		dr = 232.923760000473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04889564--0.04879976) × cos(1.17963814) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.381259377351575 × 6371000     		do = 232.892854919087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04889564--0.04879976) × cos(1.17960158) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.381293175650883 × 6371000     		du = 232.913500660241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17963814)-sin(1.17960158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381259377351575-0.381293175650883)×R²
    abs(-0.04879976--0.04889564)×3.3798299307386e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.3798299307386e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.3798299307386e-05×40589641000000     		ar = 54248.6838926486m²