Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 32257 / 24065
↖ ↑ ↗
← N 74.401424°
W 91.403503°		 ← 82.11 m → N 74.401424°
W 91.400757°		 →
↑
82.12 m
↓
↑
82.12 m
↓
N 74.400686°
W 91.403503°		 ← 82.11 m →
6 743 m²		 N 74.400686°
W 91.400757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.246105194091797 y=0.183605194091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.246105194091797 × 217)
    floor (0.246105194091797 × 131072)
    floor (32257.5)     		tx = 32257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.183605194091797 × 217)
    floor (0.183605194091797 × 131072)
    floor (24065.5)     		ty = 24065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 32257 / 24065 ti = "17/32257/24065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/32257/24065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32257 ÷ 217
    32257 ÷ 131072     		x = 0.246101379394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24065 ÷ 217
    24065 ÷ 131072     		y = 0.183601379394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.246101379394531 × 2 - 1) × π
    -0.507797241210938 × 3.1415926535     		Λ = -1.59529208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.183601379394531 × 2 - 1) × π
    0.632797241210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.98799116414335
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.59529208} λ = -1.59529208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.98799116414335))-π/2
    2×atan(7.30085280652947)-π/2
    2×1.4346730724945-π/2
    2.869346144989-1.57079632675     		φ = 1.29854982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.59529208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -91.403503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29854982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.401424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32257 KachelY 24065 -1.59529208 1.29854982 -91.403503 74.401424
    Oben rechts KachelX + 1 32258 KachelY 24065 -1.59524415 1.29854982 -91.400757 74.401424
    Unten links KachelX 32257 KachelY + 1 24066 -1.59529208 1.29853693 -91.403503 74.400686
    Unten rechts KachelX + 1 32258 KachelY + 1 24066 -1.59524415 1.29853693 -91.400757 74.400686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29854982-1.29853693) × R
    1.28900000000431e-05 × 6371000     		dl = 82.1221900002749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29854982-1.29853693) × R
    1.28900000000431e-05 × 6371000     		dr = 82.1221900002749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.59529208--1.59524415) × cos(1.29854982) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.26889587966623 × 6371000     		do = 82.1105916731855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.59529208--1.59524415) × cos(1.29853693) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.268908294895535 × 6371000     		du = 82.114382812809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29854982)-sin(1.29853693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.26889587966623-0.268908294895535)×R²
    abs(-1.59524415--1.59529208)×1.24152293051183e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.24152293051183e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.24152293051183e-05×40589641000000     		ar = 6743.25727891618m²