Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32250 / 37754
↖ ↑ ↗
← S 26.401711°
W  2.845459°		 ← 547.14 m → S 26.401711°
W  2.839966°		 →
↑
547.08 m
↓
↑
547.08 m
↓
S 26.406631°
W  2.845459°		 ← 547.12 m →
299 321 m²		 S 26.406631°
W  2.839966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492103576660156 y=0.576087951660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492103576660156 × 216)
    floor (0.492103576660156 × 65536)
    floor (32250.5)     		tx = 32250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576087951660156 × 216)
    floor (0.576087951660156 × 65536)
    floor (37754.5)     		ty = 37754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32250 / 37754 ti = "16/32250/37754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32250/37754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32250 ÷ 216
    32250 ÷ 65536     		x = 0.492095947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37754 ÷ 216
    37754 ÷ 65536     		y = 0.576080322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492095947265625 × 2 - 1) × π
    -0.01580810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04966263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576080322265625 × 2 - 1) × π
    -0.15216064453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.4780267630112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04966263} λ = -0.04966263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.4780267630112))-π/2
    2×atan(0.620005603543038)-π/2
    2×0.554999774961366-π/2
    1.10999954992273-1.57079632675     		φ = -0.46079678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04966263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.845459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46079678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.401711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32250 KachelY 37754 -0.04966263 -0.46079678 -2.845459 -26.401711
    Oben rechts KachelX + 1 32251 KachelY 37754 -0.04956675 -0.46079678 -2.839966 -26.401711
    Unten links KachelX 32250 KachelY + 1 37755 -0.04966263 -0.46088265 -2.845459 -26.406631
    Unten rechts KachelX + 1 32251 KachelY + 1 37755 -0.04956675 -0.46088265 -2.839966 -26.406631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46079678--0.46088265) × R
    8.58699999999879e-05 × 6371000     		dl = 547.077769999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46079678--0.46088265) × R
    8.58699999999879e-05 × 6371000     		dr = 547.077769999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04966263--0.04956675) × cos(-0.46079678) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.895698484157087 × 6371000     		do = 547.138744681111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04966263--0.04956675) × cos(-0.46088265) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.895660297735547 × 6371000     		du = 547.115418448997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46079678)-sin(-0.46088265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895698484157087-0.895660297735547)×R²
    abs(-0.04956675--0.04966263)×3.81864215399652e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.81864215399652e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.81864215399652e-05×40589641000000     		ar = 299321.063872997m²