Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32250 / 13900
↖ ↑ ↗
← N 71.392155°
W  2.845459°		 ← 194.92 m → N 71.392155°
W  2.839966°		 →
↑
194.95 m
↓
↑
194.95 m
↓
N 71.390401°
W  2.845459°		 ← 194.93 m →
38 001 m²		 N 71.390401°
W  2.839966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492103576660156 y=0.212104797363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492103576660156 × 216)
    floor (0.492103576660156 × 65536)
    floor (32250.5)     		tx = 32250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212104797363281 × 216)
    floor (0.212104797363281 × 65536)
    floor (13900.5)     		ty = 13900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32250 / 13900 ti = "16/32250/13900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32250/13900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32250 ÷ 216
    32250 ÷ 65536     		x = 0.492095947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13900 ÷ 216
    13900 ÷ 65536     		y = 0.21209716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492095947265625 × 2 - 1) × π
    -0.01580810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04966263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21209716796875 × 2 - 1) × π
    0.5758056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.80894684406244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04966263} λ = -0.04966263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80894684406244))-π/2
    2×atan(6.1040155657099)-π/2
    2×1.40841224226026-π/2
    2.81682448452051-1.57079632675     		φ = 1.24602816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04966263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.845459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24602816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.392155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32250 KachelY 13900 -0.04966263 1.24602816 -2.845459 71.392155
    Oben rechts KachelX + 1 32251 KachelY 13900 -0.04956675 1.24602816 -2.839966 71.392155
    Unten links KachelX 32250 KachelY + 1 13901 -0.04966263 1.24599756 -2.845459 71.390401
    Unten rechts KachelX + 1 32251 KachelY + 1 13901 -0.04956675 1.24599756 -2.839966 71.390401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24602816-1.24599756) × R
    3.06000000001028e-05 × 6371000     		dl = 194.952600000655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24602816-1.24599756) × R
    3.06000000001028e-05 × 6371000     		dr = 194.952600000655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04966263--0.04956675) × cos(1.24602816) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.319089080372859 × 6371000     		do = 194.916036997599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04966263--0.04956675) × cos(1.24599756) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.31911808060012 × 6371000     		du = 194.933751829342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24602816)-sin(1.24599756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319089080372859-0.31911808060012)×R²
    abs(-0.04956675--0.04966263)×2.9000227260656e-05×R²
    9.58799999999996e-05×2.9000227260656e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×2.9000227260656e-05×40589641000000     		ar = 38001.1149737863m²