Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32250 / 13898
↖ ↑ ↗
← N 71.395660°
W  2.845459°		 ← 194.88 m → N 71.395660°
W  2.839966°		 →
↑
194.89 m
↓
↑
194.89 m
↓
N 71.393907°
W  2.845459°		 ← 194.90 m →
37 982 m²		 N 71.393907°
W  2.839966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.492103576660156 y=0.212074279785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.492103576660156 × 216)
    floor (0.492103576660156 × 65536)
    floor (32250.5)     		tx = 32250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212074279785156 × 216)
    floor (0.212074279785156 × 65536)
    floor (13898.5)     		ty = 13898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32250 / 13898 ti = "16/32250/13898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32250/13898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32250 ÷ 216
    32250 ÷ 65536     		x = 0.492095947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13898 ÷ 216
    13898 ÷ 65536     		y = 0.212066650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.492095947265625 × 2 - 1) × π
    -0.01580810546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.04966263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212066650390625 × 2 - 1) × π
    0.57586669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.80913859166092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04966263} λ = -0.04966263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80913859166092))-π/2
    2×atan(6.10518610825648)-π/2
    2×1.40844283176337-π/2
    2.81688566352673-1.57079632675     		φ = 1.24608934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04966263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.845459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24608934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.395660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32250 KachelY 13898 -0.04966263 1.24608934 -2.845459 71.395660
    Oben rechts KachelX + 1 32251 KachelY 13898 -0.04956675 1.24608934 -2.839966 71.395660
    Unten links KachelX 32250 KachelY + 1 13899 -0.04966263 1.24605875 -2.845459 71.393907
    Unten rechts KachelX + 1 32251 KachelY + 1 13899 -0.04956675 1.24605875 -2.839966 71.393907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24608934-1.24605875) × R
    3.05899999999415e-05 × 6371000     		dl = 194.888889999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24608934-1.24605875) × R
    3.05899999999415e-05 × 6371000     		dr = 194.888889999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04966263--0.04956675) × cos(1.24608934) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.319031097976904 × 6371000     		do = 194.880618365216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04966263--0.04956675) × cos(1.24605875) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.319060089324161 × 6371000     		du = 194.898327772595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24608934)-sin(1.24605875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.319031097976904-0.319060089324161)×R²
    abs(-0.04956675--0.04966263)×2.89913472577563e-05×R²
    9.58799999999996e-05×2.89913472577563e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×2.89913472577563e-05×40589641000000     		ar = 37981.7930819333m²