Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32243 / 15887
↖ ↑ ↗
← N 67.577813°
W  2.883911°		 ← 232.97 m → N 67.577813°
W  2.878418°		 →
↑
232.99 m
↓
↑
232.99 m
↓
N 67.575717°
W  2.883911°		 ← 232.99 m →
54 282 m²		 N 67.575717°
W  2.878418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491996765136719 y=0.242424011230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491996765136719 × 216)
    floor (0.491996765136719 × 65536)
    floor (32243.5)     		tx = 32243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242424011230469 × 216)
    floor (0.242424011230469 × 65536)
    floor (15887.5)     		ty = 15887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32243 / 15887 ti = "16/32243/15887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32243/15887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32243 ÷ 216
    32243 ÷ 65536     		x = 0.491989135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15887 ÷ 216
    15887 ÷ 65536     		y = 0.242416381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491989135742188 × 2 - 1) × π
    -0.016021728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05033374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.242416381835938 × 2 - 1) × π
    0.515167236328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.61844560497234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05033374} λ = -0.05033374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61844560497234))-π/2
    2×atan(5.04524191943644)-π/2
    2×1.375125830355-π/2
    2.75025166071001-1.57079632675     		φ = 1.17945533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05033374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.883911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17945533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.577813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32243 KachelY 15887 -0.05033374 1.17945533 -2.883911 67.577813
    Oben rechts KachelX + 1 32244 KachelY 15887 -0.05023787 1.17945533 -2.878418 67.577813
    Unten links KachelX 32243 KachelY + 1 15888 -0.05033374 1.17941876 -2.883911 67.575717
    Unten rechts KachelX + 1 32244 KachelY + 1 15888 -0.05023787 1.17941876 -2.878418 67.575717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17945533-1.17941876) × R
    3.65700000000135e-05 × 6371000     		dl = 232.987470000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17945533-1.17941876) × R
    3.65700000000135e-05 × 6371000     		dr = 232.987470000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05033374--0.05023787) × cos(1.17945533) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.381428372995152 × 6371000     		do = 232.971785356449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05033374--0.05023787) × cos(1.17941876) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.381462177989466 × 6371000     		du = 232.992433033541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17945533)-sin(1.17941876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381428372995152-0.381462177989466)×R²
    abs(-0.05023787--0.05033374)×3.38049943143237e-05×R²
    9.58700000000048e-05×3.38049943143237e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×3.38049943143237e-05×40589641000000     		ar = 54281.9121828069m²