Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 3224 / 7256
↖ ↑ ↗
← N 20.138470°
W109.160156°		 ← 2 293.90 m → N 20.138470°
W109.138183°		 →
↑
2 294.01 m
↓
↑
2 294.01 m
↓
N 20.117840°
W109.160156°		 ← 2 294.21 m →
5 262 578 m²		 N 20.117840°
W109.138183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.196807861328125 y=0.442901611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.196807861328125 × 214)
    floor (0.196807861328125 × 16384)
    floor (3224.5)     		tx = 3224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442901611328125 × 214)
    floor (0.442901611328125 × 16384)
    floor (7256.5)     		ty = 7256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3224 / 7256 ti = "14/3224/7256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3224/7256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3224 ÷ 214
    3224 ÷ 16384     		x = 0.19677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7256 ÷ 214
    7256 ÷ 16384     		y = 0.44287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.19677734375 × 2 - 1) × π
    -0.6064453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.90520414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44287109375 × 2 - 1) × π
    0.1142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.35895150435498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.90520414} λ = -1.90520414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35895150435498))-π/2
    2×atan(1.43182736249643)-π/2
    2×0.961139470026334-π/2
    1.92227894005267-1.57079632675     		φ = 0.35148261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.90520414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -109.160156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35148261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.138470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3224 KachelY 7256 -1.90520414 0.35148261 -109.160156 20.138470
    Oben rechts KachelX + 1 3225 KachelY 7256 -1.90482064 0.35148261 -109.138183 20.138470
    Unten links KachelX 3224 KachelY + 1 7257 -1.90520414 0.35112254 -109.160156 20.117840
    Unten rechts KachelX + 1 3225 KachelY + 1 7257 -1.90482064 0.35112254 -109.138183 20.117840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35148261-0.35112254) × R
    0.00036006999999999 × 6371000     		dl = 2294.00596999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35148261-0.35112254) × R
    0.00036006999999999 × 6371000     		dr = 2294.00596999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.90520414--1.90482064) × cos(0.35148261) × R
    0.00038349999999987 × 0.938863296882702 × 6371000     		do = 2293.90450771185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.90520414--1.90482064) × cos(0.35112254) × R
    0.00038349999999987 × 0.938987204573575 × 6371000     		du = 2294.20724870894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35148261)-sin(0.35112254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938863296882702-0.938987204573575)×R²
    abs(-1.90482064--1.90520414)×0.000123907690873337×R²
    0.00038349999999987×0.000123907690873337×6371000²
    0.00038349999999987×0.000123907690873337×40589641000000     		ar = 5262577.93698636m²