Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32236 / 37739
↖ ↑ ↗
← S 26.327883°
W  2.922363°		 ← 547.43 m → S 26.327883°
W  2.916870°		 →
↑
547.46 m
↓
↑
547.46 m
↓
S 26.332807°
W  2.922363°		 ← 547.41 m →
299 690 m²		 S 26.332807°
W  2.916870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491889953613281 y=0.575859069824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491889953613281 × 216)
    floor (0.491889953613281 × 65536)
    floor (32236.5)     		tx = 32236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575859069824219 × 216)
    floor (0.575859069824219 × 65536)
    floor (37739.5)     		ty = 37739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32236 / 37739 ti = "16/32236/37739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32236/37739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32236 ÷ 216
    32236 ÷ 65536     		x = 0.49188232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37739 ÷ 216
    37739 ÷ 65536     		y = 0.575851440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49188232421875 × 2 - 1) × π
    -0.0162353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05100486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575851440429688 × 2 - 1) × π
    -0.151702880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.476588656022598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05100486} λ = -0.05100486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.476588656022598))-π/2
    2×atan(0.62089787937474)-π/2
    2×0.555644035880314-π/2
    1.11128807176063-1.57079632675     		φ = -0.45950825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05100486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.922363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45950825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.327883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32236 KachelY 37739 -0.05100486 -0.45950825 -2.922363 -26.327883
    Oben rechts KachelX + 1 32237 KachelY 37739 -0.05090899 -0.45950825 -2.916870 -26.327883
    Unten links KachelX 32236 KachelY + 1 37740 -0.05100486 -0.45959418 -2.922363 -26.332807
    Unten rechts KachelX + 1 32237 KachelY + 1 37740 -0.05090899 -0.45959418 -2.916870 -26.332807
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45950825--0.45959418) × R
    8.59300000000118e-05 × 6371000     		dl = 547.460030000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45950825--0.45959418) × R
    8.59300000000118e-05 × 6371000     		dr = 547.460030000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05100486--0.05090899) × cos(-0.45950825) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.89627070065749 × 6371000     		do = 547.431182570914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05100486--0.05090899) × cos(-0.45959418) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896232586755964 × 6371000     		du = 547.407903065995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45950825)-sin(-0.45959418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89627070065749-0.896232586755964)×R²
    abs(-0.05090899--0.05100486)×3.81139015256382e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.81139015256382e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.81139015256382e-05×40589641000000     		ar = 299690.319518505m²