Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32235 / 37742
↖ ↑ ↗
← S 26.342653°
W  2.927856°		 ← 547.36 m → S 26.342653°
W  2.922363°		 →
↑
547.33 m
↓
↑
547.33 m
↓
S 26.347575°
W  2.927856°		 ← 547.34 m →
299 582 m²		 S 26.347575°
W  2.922363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491874694824219 y=0.575904846191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491874694824219 × 216)
    floor (0.491874694824219 × 65536)
    floor (32235.5)     		tx = 32235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575904846191406 × 216)
    floor (0.575904846191406 × 65536)
    floor (37742.5)     		ty = 37742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32235 / 37742 ti = "16/32235/37742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32235/37742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32235 ÷ 216
    32235 ÷ 65536     		x = 0.491867065429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37742 ÷ 216
    37742 ÷ 65536     		y = 0.575897216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491867065429688 × 2 - 1) × π
    -0.016265869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05110073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575897216796875 × 2 - 1) × π
    -0.15179443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.476876277420319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05110073} λ = -0.05110073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.476876277420319))-π/2
    2×atan(0.620719321538591)-π/2
    2×0.555515150786843-π/2
    1.11103030157369-1.57079632675     		φ = -0.45976603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05110073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.927856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45976603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.342653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32235 KachelY 37742 -0.05110073 -0.45976603 -2.927856 -26.342653
    Oben rechts KachelX + 1 32236 KachelY 37742 -0.05100486 -0.45976603 -2.922363 -26.342653
    Unten links KachelX 32235 KachelY + 1 37743 -0.05110073 -0.45985194 -2.927856 -26.347575
    Unten rechts KachelX + 1 32236 KachelY + 1 37743 -0.05100486 -0.45985194 -2.922363 -26.347575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45976603--0.45985194) × R
    8.59100000000224e-05 × 6371000     		dl = 547.332610000142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45976603--0.45985194) × R
    8.59100000000224e-05 × 6371000     		dr = 547.332610000142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05110073--0.05100486) × cos(-0.45976603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896156343537329 × 6371000     		do = 547.361334640507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05110073--0.05100486) × cos(-0.45985194) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.896118218660477 × 6371000     		du = 547.338048431993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45976603)-sin(-0.45985194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896156343537329-0.896118218660477)×R²
    abs(-0.05100486--0.05110073)×3.81248768520637e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.81248768520637e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.81248768520637e-05×40589641000000     		ar = 299582.335435494m²