Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32234 / 37776
↖ ↑ ↗
← S 26.509905°
W  2.933350°		 ← 546.62 m → S 26.509905°
W  2.927856°		 →
↑
546.57 m
↓
↑
546.57 m
↓
S 26.514820°
W  2.933350°		 ← 546.60 m →
298 761 m²		 S 26.514820°
W  2.927856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491859436035156 y=0.576423645019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491859436035156 × 216)
    floor (0.491859436035156 × 65536)
    floor (32234.5)     		tx = 32234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576423645019531 × 216)
    floor (0.576423645019531 × 65536)
    floor (37776.5)     		ty = 37776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32234 / 37776 ti = "16/32234/37776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32234/37776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32234 ÷ 216
    32234 ÷ 65536     		x = 0.491851806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37776 ÷ 216
    37776 ÷ 65536     		y = 0.576416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.01629638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05119661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576416015625 × 2 - 1) × π
    -0.15283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.480135986594482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05119661} λ = -0.05119661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.480135986594482))-π/2
    2×atan(0.618699251281088)-π/2
    2×0.55405560417232-π/2
    1.10811120834464-1.57079632675     		φ = -0.46268512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05119661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.933350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46268512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.509905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32234 KachelY 37776 -0.05119661 -0.46268512 -2.933350 -26.509905
    Oben rechts KachelX + 1 32235 KachelY 37776 -0.05110073 -0.46268512 -2.927856 -26.509905
    Unten links KachelX 32234 KachelY + 1 37777 -0.05119661 -0.46277091 -2.933350 -26.514820
    Unten rechts KachelX + 1 32235 KachelY + 1 37777 -0.05110073 -0.46277091 -2.927856 -26.514820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46268512--0.46277091) × R
    8.57899999999745e-05 × 6371000     		dl = 546.568089999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46268512--0.46277091) × R
    8.57899999999745e-05 × 6371000     		dr = 546.568089999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05119661--0.05110073) × cos(-0.46268512) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.894857214808168 × 6371000     		do = 546.624854054245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05119661--0.05110073) × cos(-0.46277091) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.894818918933157 × 6371000     		du = 546.601460962316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46268512)-sin(-0.46277091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894857214808168-0.894818918933157)×R²
    abs(-0.05110073--0.05119661)×3.82958750112516e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.82958750112516e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.82958750112516e-05×40589641000000     		ar = 298761.309651283m²