Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32234 / 13802
↖ ↑ ↗
← N 71.563167°
W  2.933350°		 ← 193.19 m → N 71.563167°
W  2.927856°		 →
↑
193.17 m
↓
↑
193.17 m
↓
N 71.561430°
W  2.933350°		 ← 193.20 m →
37 319 m²		 N 71.561430°
W  2.927856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491859436035156 y=0.210609436035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491859436035156 × 216)
    floor (0.491859436035156 × 65536)
    floor (32234.5)     		tx = 32234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210609436035156 × 216)
    floor (0.210609436035156 × 65536)
    floor (13802.5)     		ty = 13802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32234 / 13802 ti = "16/32234/13802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32234/13802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32234 ÷ 216
    32234 ÷ 65536     		x = 0.491851806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13802 ÷ 216
    13802 ÷ 65536     		y = 0.210601806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.01629638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05119661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210601806640625 × 2 - 1) × π
    0.57879638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81834247638797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05119661} λ = -0.05119661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81834247638797))-π/2
    2×atan(6.16163692232461)-π/2
    2×1.40990460765437-π/2
    2.81980921530875-1.57079632675     		φ = 1.24901289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05119661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.933350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24901289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.563167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32234 KachelY 13802 -0.05119661 1.24901289 -2.933350 71.563167
    Oben rechts KachelX + 1 32235 KachelY 13802 -0.05110073 1.24901289 -2.927856 71.563167
    Unten links KachelX 32234 KachelY + 1 13803 -0.05119661 1.24898257 -2.933350 71.561430
    Unten rechts KachelX + 1 32235 KachelY + 1 13803 -0.05110073 1.24898257 -2.927856 71.561430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24901289-1.24898257) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dl = 193.168720000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24901289-1.24898257) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dr = 193.168720000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05119661--0.05110073) × cos(1.24901289) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.316258960827895 × 6371000     		do = 193.187254284981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05119661--0.05110073) × cos(1.24898257) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.316287724444826 × 6371000     		du = 193.204824582953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24901289)-sin(1.24898257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316258960827895-0.316287724444826)×R²
    abs(-0.05110073--0.05119661)×2.87636169308825e-05×R²
    9.58799999999996e-05×2.87636169308825e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×2.87636169308825e-05×40589641000000     		ar = 37319.4316496362m²