Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32233 / 13800
↖ ↑ ↗
← N 71.566641°
W  2.938843°		 ← 193.13 m → N 71.566641°
W  2.933350°		 →
↑
193.11 m
↓
↑
193.11 m
↓
N 71.564904°
W  2.938843°		 ← 193.15 m →
37 296 m²		 N 71.564904°
W  2.933350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491844177246094 y=0.210578918457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491844177246094 × 216)
    floor (0.491844177246094 × 65536)
    floor (32233.5)     		tx = 32233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210578918457031 × 216)
    floor (0.210578918457031 × 65536)
    floor (13800.5)     		ty = 13800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32233 / 13800 ti = "16/32233/13800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32233/13800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32233 ÷ 216
    32233 ÷ 65536     		x = 0.491836547851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13800 ÷ 216
    13800 ÷ 65536     		y = 0.2105712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491836547851562 × 2 - 1) × π
    -0.016326904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05129248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2105712890625 × 2 - 1) × π
    0.578857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81853422398645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05129248} λ = -0.05129248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81853422398645))-π/2
    2×atan(6.1628185146873)-π/2
    2×1.409934925845-π/2
    2.81986985169-1.57079632675     		φ = 1.24907352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05129248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.938843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24907352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.566641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32233 KachelY 13800 -0.05129248 1.24907352 -2.938843 71.566641
    Oben rechts KachelX + 1 32234 KachelY 13800 -0.05119661 1.24907352 -2.933350 71.566641
    Unten links KachelX 32233 KachelY + 1 13801 -0.05129248 1.24904321 -2.938843 71.564904
    Unten rechts KachelX + 1 32234 KachelY + 1 13801 -0.05119661 1.24904321 -2.933350 71.564904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24907352-1.24904321) × R
    3.03100000000889e-05 × 6371000     		dl = 193.105010000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24907352-1.24904321) × R
    3.03100000000889e-05 × 6371000     		dr = 193.105010000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05129248--0.05119661) × cos(1.24907352) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.316201442208768 × 6371000     		do = 193.131973757487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05129248--0.05119661) × cos(1.24904321) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.316230196920227 × 6371000     		du = 193.149536783576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24907352)-sin(1.24904321))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.316201442208768-0.316230196920227)×R²
    abs(-0.05119661--0.05129248)×2.8754711458967e-05×R²
    9.58700000000048e-05×2.8754711458967e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×2.8754711458967e-05×40589641000000     		ar = 37296.4474810348m²