Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32229 / 37771
↖ ↑ ↗
← S 26.485324°
W  2.960816°		 ← 546.74 m → S 26.485324°
W  2.955322°		 →
↑
546.70 m
↓
↑
546.70 m
↓
S 26.490241°
W  2.960816°		 ← 546.72 m →
298 895 m²		 S 26.490241°
W  2.955322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491783142089844 y=0.576347351074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491783142089844 × 216)
    floor (0.491783142089844 × 65536)
    floor (32229.5)     		tx = 32229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576347351074219 × 216)
    floor (0.576347351074219 × 65536)
    floor (37771.5)     		ty = 37771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32229 / 37771 ti = "16/32229/37771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32229/37771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32229 ÷ 216
    32229 ÷ 65536     		x = 0.491775512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37771 ÷ 216
    37771 ÷ 65536     		y = 0.576339721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491775512695312 × 2 - 1) × π
    -0.016448974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.05167598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.576339721679688 × 2 - 1) × π
    -0.152679443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.479656617598282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05167598} λ = -0.05167598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.479656617598282))-π/2
    2×atan(0.618995907618369)-π/2
    2×0.55427011051619-π/2
    1.10854022103238-1.57079632675     		φ = -0.46225611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05167598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.960816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46225611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.485324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32229 KachelY 37771 -0.05167598 -0.46225611 -2.960816 -26.485324
    Oben rechts KachelX + 1 32230 KachelY 37771 -0.05158010 -0.46225611 -2.955322 -26.485324
    Unten links KachelX 32229 KachelY + 1 37772 -0.05167598 -0.46234192 -2.960816 -26.490241
    Unten rechts KachelX + 1 32230 KachelY + 1 37772 -0.05158010 -0.46234192 -2.955322 -26.490241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46225611--0.46234192) × R
    8.58100000000195e-05 × 6371000     		dl = 546.695510000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46225611--0.46234192) × R
    8.58100000000195e-05 × 6371000     		dr = 546.695510000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05167598--0.05158010) × cos(-0.46225611) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.895048622144487 × 6371000     		do = 546.741775508958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05167598--0.05158010) × cos(-0.46234192) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.895010350286399 × 6371000     		du = 546.718397087802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46225611)-sin(-0.46234192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895048622144487-0.895010350286399)×R²
    abs(-0.05158010--0.05167598)×3.82718580880237e-05×R²
    9.58800000000065e-05×3.82718580880237e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×3.82718580880237e-05×40589641000000     		ar = 298894.883544818m²