Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32220 / 38800
↖ ↑ ↗
← S 31.428663°
W  3.010254°		 ← 521.18 m → S 31.428663°
W  3.004761°		 →
↑
521.21 m
↓
↑
521.21 m
↓
S 31.433350°
W  3.010254°		 ← 521.15 m →
271 638 m²		 S 31.433350°
W  3.004761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491645812988281 y=0.592048645019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491645812988281 × 216)
    floor (0.491645812988281 × 65536)
    floor (32220.5)     		tx = 32220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592048645019531 × 216)
    floor (0.592048645019531 × 65536)
    floor (38800.5)     		ty = 38800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32220 / 38800 ti = "16/32220/38800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32220/38800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32220 ÷ 216
    32220 ÷ 65536     		x = 0.49163818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38800 ÷ 216
    38800 ÷ 65536     		y = 0.592041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49163818359375 × 2 - 1) × π
    -0.0167236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05253884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592041015625 × 2 - 1) × π
    -0.18408203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.578310757016357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05253884} λ = -0.05253884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.578310757016357))-π/2
    2×atan(0.560844970249394)-π/2
    2×0.511131337955494-π/2
    1.02226267591099-1.57079632675     		φ = -0.54853365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05253884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.010254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54853365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.428663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32220 KachelY 38800 -0.05253884 -0.54853365 -3.010254 -31.428663
    Oben rechts KachelX + 1 32221 KachelY 38800 -0.05244297 -0.54853365 -3.004761 -31.428663
    Unten links KachelX 32220 KachelY + 1 38801 -0.05253884 -0.54861546 -3.010254 -31.433350
    Unten rechts KachelX + 1 32221 KachelY + 1 38801 -0.05244297 -0.54861546 -3.004761 -31.433350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54853365--0.54861546) × R
    8.1810000000071e-05 × 6371000     		dl = 521.211510000452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54853365--0.54861546) × R
    8.1810000000071e-05 × 6371000     		dr = 521.211510000452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05253884--0.05244297) × cos(-0.54853365) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.853290047661569 × 6371000     		do = 521.17912537443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05253884--0.05244297) × cos(-0.54861546) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.853247386080497 × 6371000     		du = 521.153068202462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54853365)-sin(-0.54861546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853290047661569-0.853247386080497)×R²
    abs(-0.05244297--0.05253884)×4.26615810718012e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.26615810718012e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.26615810718012e-05×40589641000000     		ar = 271637.768419413m²