Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32219 / 38798
↖ ↑ ↗
← S 31.419288°
W  3.015747°		 ← 521.29 m → S 31.419288°
W  3.010254°		 →
↑
521.21 m
↓
↑
521.21 m
↓
S 31.423976°
W  3.015747°		 ← 521.26 m →
271 693 m²		 S 31.423976°
W  3.010254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491630554199219 y=0.592018127441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491630554199219 × 216)
    floor (0.491630554199219 × 65536)
    floor (32219.5)     		tx = 32219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592018127441406 × 216)
    floor (0.592018127441406 × 65536)
    floor (38798.5)     		ty = 38798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32219 / 38798 ti = "16/32219/38798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32219/38798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32219 ÷ 216
    32219 ÷ 65536     		x = 0.491622924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38798 ÷ 216
    38798 ÷ 65536     		y = 0.592010498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491622924804688 × 2 - 1) × π
    -0.016754150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05263472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592010498046875 × 2 - 1) × π
    -0.18402099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.578119009417877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05263472} λ = -0.05263472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.578119009417877))-π/2
    2×atan(0.560952521236551)-π/2
    2×0.511213150203706-π/2
    1.02242630040741-1.57079632675     		φ = -0.54837003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05263472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.015747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54837003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.419288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32219 KachelY 38798 -0.05263472 -0.54837003 -3.015747 -31.419288
    Oben rechts KachelX + 1 32220 KachelY 38798 -0.05253884 -0.54837003 -3.010254 -31.419288
    Unten links KachelX 32219 KachelY + 1 38799 -0.05263472 -0.54845184 -3.015747 -31.423976
    Unten rechts KachelX + 1 32220 KachelY + 1 38799 -0.05253884 -0.54845184 -3.010254 -31.423976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54837003--0.54845184) × R
    8.1810000000071e-05 × 6371000     		dl = 521.211510000452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54837003--0.54845184) × R
    8.1810000000071e-05 × 6371000     		dr = 521.211510000452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05263472--0.05253884) × cos(-0.54837003) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.853375353690533 × 6371000     		do = 521.285597797383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05263472--0.05253884) × cos(-0.54845184) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.853332703531676 × 6371000     		du = 521.259544884723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54837003)-sin(-0.54845184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853375353690533-0.853332703531676)×R²
    abs(-0.05253884--0.05263472)×4.26501588571826e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.26501588571826e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.26501588571826e-05×40589641000000     		ar = 271693.264182098m²