Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32212 / 37764
↖ ↑ ↗
← S 26.450902°
W  3.054199°		 ← 546.85 m → S 26.450902°
W  3.048706°		 →
↑
546.89 m
↓
↑
546.89 m
↓
S 26.455820°
W  3.054199°		 ← 546.82 m →
299 058 m²		 S 26.455820°
W  3.048706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491523742675781 y=0.576240539550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491523742675781 × 216)
    floor (0.491523742675781 × 65536)
    floor (32212.5)     		tx = 32212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576240539550781 × 216)
    floor (0.576240539550781 × 65536)
    floor (37764.5)     		ty = 37764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32212 / 37764 ti = "16/32212/37764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32212/37764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32212 ÷ 216
    32212 ÷ 65536     		x = 0.49151611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37764 ÷ 216
    37764 ÷ 65536     		y = 0.57623291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49151611328125 × 2 - 1) × π
    -0.0169677734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.05330583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57623291015625 × 2 - 1) × π
    -0.1524658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.478985501003601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05330583} λ = -0.05330583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.478985501003601))-π/2
    2×atan(0.6194114654723)-π/2
    2×0.554570496440489-π/2
    1.10914099288098-1.57079632675     		φ = -0.46165533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05330583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.054199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46165533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.450902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32212 KachelY 37764 -0.05330583 -0.46165533 -3.054199 -26.450902
    Oben rechts KachelX + 1 32213 KachelY 37764 -0.05320996 -0.46165533 -3.048706 -26.450902
    Unten links KachelX 32212 KachelY + 1 37765 -0.05330583 -0.46174117 -3.054199 -26.455820
    Unten rechts KachelX + 1 32213 KachelY + 1 37765 -0.05320996 -0.46174117 -3.048706 -26.455820
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46165533--0.46174117) × R
    8.58400000000037e-05 × 6371000     		dl = 546.886640000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46165533--0.46174117) × R
    8.58400000000037e-05 × 6371000     		dr = 546.886640000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05330583--0.05320996) × cos(-0.46165533) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.895316389596988 × 6371000     		do = 546.848301046384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05330583--0.05320996) × cos(-0.46174117) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.89527815052197 × 6371000     		du = 546.824945087027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46165533)-sin(-0.46174117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895316389596988-0.89527815052197)×R²
    abs(-0.05320996--0.05330583)×3.82390750177652e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.82390750177652e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.82390750177652e-05×40589641000000     		ar = 299057.643601535m²