Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32209 / 13835
↖ ↑ ↗
← N 71.505751°
W  3.070678°		 ← 193.75 m → N 71.505751°
W  3.065186°		 →
↑
193.74 m
↓
↑
193.74 m
↓
N 71.504009°
W  3.070678°		 ← 193.77 m →
37 539 m²		 N 71.504009°
W  3.065186°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491477966308594 y=0.211112976074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491477966308594 × 216)
    floor (0.491477966308594 × 65536)
    floor (32209.5)     		tx = 32209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211112976074219 × 216)
    floor (0.211112976074219 × 65536)
    floor (13835.5)     		ty = 13835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32209 / 13835 ti = "16/32209/13835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32209/13835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32209 ÷ 216
    32209 ÷ 65536     		x = 0.491470336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13835 ÷ 216
    13835 ÷ 65536     		y = 0.211105346679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491470336914062 × 2 - 1) × π
    -0.017059326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05359345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211105346679688 × 2 - 1) × π
    0.577789306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.81517864101305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05359345} λ = -0.05359345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81517864101305))-π/2
    2×atan(6.1421733235092)-π/2
    2×1.40940356053535-π/2
    2.81880712107071-1.57079632675     		φ = 1.24801079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05359345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.070678°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24801079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.505751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32209 KachelY 13835 -0.05359345 1.24801079 -3.070678 71.505751
    Oben rechts KachelX + 1 32210 KachelY 13835 -0.05349758 1.24801079 -3.065186 71.505751
    Unten links KachelX 32209 KachelY + 1 13836 -0.05359345 1.24798038 -3.070678 71.504009
    Unten rechts KachelX + 1 32210 KachelY + 1 13836 -0.05349758 1.24798038 -3.065186 71.504009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24801079-1.24798038) × R
    3.04099999999252e-05 × 6371000     		dl = 193.742109999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24801079-1.24798038) × R
    3.04099999999252e-05 × 6371000     		dr = 193.742109999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05359345--0.05349758) × cos(1.24801079) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317209466986775 × 6371000     		do = 193.747662963737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05359345--0.05349758) × cos(1.24798038) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317238306330848 × 6371000     		du = 193.765277682391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24801079)-sin(1.24798038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317209466986775-0.317238306330848)×R²
    abs(-0.05349758--0.05359345)×2.8839344072662e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.8839344072662e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.8839344072662e-05×40589641000000     		ar = 37538.7873892501m²