Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32199 / 16189
↖ ↑ ↗
← N 66.936517°
W  3.125610°		 ← 239.28 m → N 66.936517°
W  3.120117°		 →
↑
239.29 m
↓
↑
239.29 m
↓
N 66.934365°
W  3.125610°		 ← 239.30 m →
57 260 m²		 N 66.934365°
W  3.120117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491325378417969 y=0.247032165527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491325378417969 × 216)
    floor (0.491325378417969 × 65536)
    floor (32199.5)     		tx = 32199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247032165527344 × 216)
    floor (0.247032165527344 × 65536)
    floor (16189.5)     		ty = 16189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32199 / 16189 ti = "16/32199/16189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32199/16189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32199 ÷ 216
    32199 ÷ 65536     		x = 0.491317749023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16189 ÷ 216
    16189 ÷ 65536     		y = 0.247024536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491317749023438 × 2 - 1) × π
    -0.017364501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05455219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247024536132812 × 2 - 1) × π
    0.505950927734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.58949171760182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05455219} λ = -0.05455219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58949171760182))-π/2
    2×atan(4.90125707239817)-π/2
    2×1.36952946883497-π/2
    2.73905893766993-1.57079632675     		φ = 1.16826261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05455219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.125610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16826261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.936517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32199 KachelY 16189 -0.05455219 1.16826261 -3.125610 66.936517
    Oben rechts KachelX + 1 32200 KachelY 16189 -0.05445632 1.16826261 -3.120117 66.936517
    Unten links KachelX 32199 KachelY + 1 16190 -0.05455219 1.16822505 -3.125610 66.934365
    Unten rechts KachelX + 1 32200 KachelY + 1 16190 -0.05445632 1.16822505 -3.120117 66.934365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16826261-1.16822505) × R
    3.7559999999992e-05 × 6371000     		dl = 239.294759999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16826261-1.16822505) × R
    3.7559999999992e-05 × 6371000     		dr = 239.294759999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05455219--0.05445632) × cos(1.16826261) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.391750797543475 × 6371000     		do = 239.276596027296m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05455219--0.05445632) × cos(1.16822505) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.391785355147522 × 6371000     		du = 239.297703389207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16826261)-sin(1.16822505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391750797543475-0.391785355147522)×R²
    abs(-0.05445632--0.05455219)×3.45576040462481e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.45576040462481e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.45576040462481e-05×40589641000000     		ar = 57260.1610670391m²