Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32191 / 16194
↖ ↑ ↗
← N 66.925755°
W  3.169556°		 ← 239.38 m → N 66.925755°
W  3.164063°		 →
↑
239.42 m
↓
↑
239.42 m
↓
N 66.923602°
W  3.169556°		 ← 239.40 m →
57 316 m²		 N 66.923602°
W  3.164063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491203308105469 y=0.247108459472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491203308105469 × 216)
    floor (0.491203308105469 × 65536)
    floor (32191.5)     		tx = 32191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247108459472656 × 216)
    floor (0.247108459472656 × 65536)
    floor (16194.5)     		ty = 16194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32191 / 16194 ti = "16/32191/16194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32191/16194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32191 ÷ 216
    32191 ÷ 65536     		x = 0.491195678710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16194 ÷ 216
    16194 ÷ 65536     		y = 0.247100830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491195678710938 × 2 - 1) × π
    -0.017608642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05531918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247100830078125 × 2 - 1) × π
    0.50579833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.58901234860562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05531918} λ = -0.05531918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58901234860562))-π/2
    2×atan(4.89890812476657)-π/2
    2×1.36943555153266-π/2
    2.73887110306532-1.57079632675     		φ = 1.16807478
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05531918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.169556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16807478 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.925755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32191 KachelY 16194 -0.05531918 1.16807478 -3.169556 66.925755
    Oben rechts KachelX + 1 32192 KachelY 16194 -0.05522331 1.16807478 -3.164063 66.925755
    Unten links KachelX 32191 KachelY + 1 16195 -0.05531918 1.16803720 -3.169556 66.923602
    Unten rechts KachelX + 1 32192 KachelY + 1 16195 -0.05522331 1.16803720 -3.164063 66.923602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16807478-1.16803720) × R
    3.75799999998705e-05 × 6371000     		dl = 239.422179999175m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16807478-1.16803720) × R
    3.75799999998705e-05 × 6371000     		dr = 239.422179999175m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05531918--0.05522331) × cos(1.16807478) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.391923607636026 × 6371000     		do = 239.382146318376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05531918--0.05522331) × cos(1.16803720) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.391958180875241 × 6371000     		du = 239.403263230057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16807478)-sin(1.16803720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391923607636026-0.391958180875241)×R²
    abs(-0.05522331--0.05531918)×3.45732392147968e-05×R²
    9.58700000000048e-05×3.45732392147968e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×3.45732392147968e-05×40589641000000     		ar = 57315.9232598265m²