Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32190 / 16174
↖ ↑ ↗
← N 66.968775°
W  3.175049°		 ← 238.99 m → N 66.968775°
W  3.169556°		 →
↑
238.98 m
↓
↑
238.98 m
↓
N 66.966626°
W  3.175049°		 ← 239.01 m →
57 114 m²		 N 66.966626°
W  3.169556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491188049316406 y=0.246803283691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491188049316406 × 216)
    floor (0.491188049316406 × 65536)
    floor (32190.5)     		tx = 32190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246803283691406 × 216)
    floor (0.246803283691406 × 65536)
    floor (16174.5)     		ty = 16174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32190 / 16174 ti = "16/32190/16174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32190/16174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32190 ÷ 216
    32190 ÷ 65536     		x = 0.491180419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16174 ÷ 216
    16174 ÷ 65536     		y = 0.246795654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.491180419921875 × 2 - 1) × π
    -0.01763916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05541506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246795654296875 × 2 - 1) × π
    0.50640869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.59092982459042
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05541506} λ = -0.05541506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59092982459042))-π/2
    2×atan(4.90831067514896)-π/2
    2×1.36981097232107-π/2
    2.73962194464215-1.57079632675     		φ = 1.16882562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05541506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.175049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16882562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.968775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32190 KachelY 16174 -0.05541506 1.16882562 -3.175049 66.968775
    Oben rechts KachelX + 1 32191 KachelY 16174 -0.05531918 1.16882562 -3.169556 66.968775
    Unten links KachelX 32190 KachelY + 1 16175 -0.05541506 1.16878811 -3.175049 66.966626
    Unten rechts KachelX + 1 32191 KachelY + 1 16175 -0.05531918 1.16878811 -3.169556 66.966626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16882562-1.16878811) × R
    3.75100000000739e-05 × 6371000     		dl = 238.976210000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16882562-1.16878811) × R
    3.75100000000739e-05 × 6371000     		dr = 238.976210000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05541506--0.05531918) × cos(1.16882562) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.391232726104245 × 6371000     		do = 238.985089765212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05541506--0.05531918) × cos(1.16878811) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.391267245973544 × 6371000     		du = 239.006176278462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16882562)-sin(1.16878811))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391232726104245-0.391267245973544)×R²
    abs(-0.05531918--0.05541506)×3.45198692989213e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.45198692989213e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.45198692989213e-05×40589641000000     		ar = 57114.2705926607m²