Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3218 / 3117
↖ ↑ ↗
← S 68.040461°
E102.832031°		 ← 3 654.63 m → S 68.040461°
E102.919922°		 →
↑
3 652.05 m
↓
↑
3 652.05 m
↓
S 68.073305°
E102.832031°		 ← 3 649.43 m →
13 337 380 m²		 S 68.073305°
E102.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7857666015625 y=0.7611083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7857666015625 × 212)
    floor (0.7857666015625 × 4096)
    floor (3218.5)     		tx = 3218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7611083984375 × 212)
    floor (0.7611083984375 × 4096)
    floor (3117.5)     		ty = 3117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3218 / 3117 ti = "12/3218/3117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3218/3117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3218 ÷ 212
    3218 ÷ 4096     		x = 0.78564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3117 ÷ 212
    3117 ÷ 4096     		y = 0.760986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78564453125 × 2 - 1) × π
    0.5712890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.79475752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760986328125 × 2 - 1) × π
    -0.52197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63982546220288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79475752} λ = 1.79475752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63982546220288))-π/2
    2×atan(0.19401390209498)-π/2
    2×0.191633126633191-π/2
    0.383266253266382-1.57079632675     		φ = -1.18753007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79475752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.832031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18753007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.040461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3218 KachelY 3117 1.79475752 -1.18753007 102.832031 -68.040461
    Oben rechts KachelX + 1 3219 KachelY 3117 1.79629150 -1.18753007 102.919922 -68.040461
    Unten links KachelX 3218 KachelY + 1 3118 1.79475752 -1.18810330 102.832031 -68.073305
    Unten rechts KachelX + 1 3219 KachelY + 1 3118 1.79629150 -1.18810330 102.919922 -68.073305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18753007--1.18810330) × R
    0.000573230000000091 × 6371000     		dl = 3652.04833000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18753007--1.18810330) × R
    0.000573230000000091 × 6371000     		dr = 3652.04833000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79475752-1.79629150) × cos(-1.18753007) × R
    0.00153397999999982 × 0.373951742627355 × 6371000     		do = 3654.62536226433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79475752-1.79629150) × cos(-1.18810330) × R
    0.00153397999999982 × 0.373420040107369 × 6371000     		du = 3649.42904067196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18753007)-sin(-1.18810330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373951742627355-0.373420040107369)×R²
    abs(1.79629150-1.79475752)×0.000531702519985522×R²
    0.00153397999999982×0.000531702519985522×6371000²
    0.00153397999999982×0.000531702519985522×40589641000000     		ar = 13337380.2074496m²