Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3218 / 3106
↖ ↑ ↗
← S 67.676085°
E102.832031°		 ← 3 712.19 m → S 67.676085°
E102.919922°		 →
↑
3 709.58 m
↓
↑
3 709.58 m
↓
S 67.709446°
E102.832031°		 ← 3 706.93 m →
13 760 910 m²		 S 67.709446°
E102.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7857666015625 y=0.7584228515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7857666015625 × 212)
    floor (0.7857666015625 × 4096)
    floor (3218.5)     		tx = 3218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7584228515625 × 212)
    floor (0.7584228515625 × 4096)
    floor (3106.5)     		ty = 3106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3218 / 3106 ti = "12/3218/3106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3218/3106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3218 ÷ 212
    3218 ÷ 4096     		x = 0.78564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3106 ÷ 212
    3106 ÷ 4096     		y = 0.75830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78564453125 × 2 - 1) × π
    0.5712890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.79475752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75830078125 × 2 - 1) × π
    -0.5166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62295167353662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79475752} λ = 1.79475752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62295167353662))-π/2
    2×atan(0.197315427967031)-π/2
    2×0.194812912999389-π/2
    0.389625825998778-1.57079632675     		φ = -1.18117050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79475752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.832031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18117050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.676085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3218 KachelY 3106 1.79475752 -1.18117050 102.832031 -67.676085
    Oben rechts KachelX + 1 3219 KachelY 3106 1.79629150 -1.18117050 102.919922 -67.676085
    Unten links KachelX 3218 KachelY + 1 3107 1.79475752 -1.18175276 102.832031 -67.709446
    Unten rechts KachelX + 1 3219 KachelY + 1 3107 1.79629150 -1.18175276 102.919922 -67.709446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18117050--1.18175276) × R
    0.000582260000000057 × 6371000     		dl = 3709.57846000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18117050--1.18175276) × R
    0.000582260000000057 × 6371000     		dr = 3709.57846000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79475752-1.79629150) × cos(-1.18117050) × R
    0.00153397999999982 × 0.37984231232963 × 6371000     		do = 3712.19382091322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79475752-1.79629150) × cos(-1.18175276) × R
    0.00153397999999982 × 0.379303627630067 × 6371000     		du = 3706.92926257354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18117050)-sin(-1.18175276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37984231232963-0.379303627630067)×R²
    abs(1.79629150-1.79475752)×0.000538684699563141×R²
    0.00153397999999982×0.000538684699563141×6371000²
    0.00153397999999982×0.000538684699563141×40589641000000     		ar = 13760909.9800747m²