Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32174 / 13886
↖ ↑ ↗
← N 71.416678°
W  3.262940°		 ← 194.67 m → N 71.416678°
W  3.257446°		 →
↑
194.70 m
↓
↑
194.70 m
↓
N 71.414928°
W  3.262940°		 ← 194.69 m →
37 903 m²		 N 71.414928°
W  3.257446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13886 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490943908691406 y=0.211891174316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490943908691406 × 216)
    floor (0.490943908691406 × 65536)
    floor (32174.5)     		tx = 32174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211891174316406 × 216)
    floor (0.211891174316406 × 65536)
    floor (13886.5)     		ty = 13886
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32174 / 13886 ti = "16/32174/13886"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32174/13886.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32174 ÷ 216
    32174 ÷ 65536     		x = 0.490936279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13886 ÷ 216
    13886 ÷ 65536     		y = 0.211883544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490936279296875 × 2 - 1) × π
    -0.01812744140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05694904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211883544921875 × 2 - 1) × π
    0.57623291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8102890772518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05694904} λ = -0.05694904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8102890772518))-π/2
    2×atan(6.11221407891797)-π/2
    2×1.40862625208584-π/2
    2.81725250417168-1.57079632675     		φ = 1.24645618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05694904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.262940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24645618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.416678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32174 KachelY 13886 -0.05694904 1.24645618 -3.262940 71.416678
    Oben rechts KachelX + 1 32175 KachelY 13886 -0.05685316 1.24645618 -3.257446 71.416678
    Unten links KachelX 32174 KachelY + 1 13887 -0.05694904 1.24642562 -3.262940 71.414928
    Unten rechts KachelX + 1 32175 KachelY + 1 13887 -0.05685316 1.24642562 -3.257446 71.414928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24645618-1.24642562) × R
    3.05600000001238e-05 × 6371000     		dl = 194.697760000789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24645618-1.24642562) × R
    3.05600000001238e-05 × 6371000     		dr = 194.697760000789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05694904--0.05685316) × cos(1.24645618) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.318683406018717 × 6371000     		do = 194.668230217973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05694904--0.05685316) × cos(1.24642562) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.318712372508693 × 6371000     		du = 194.685924441245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24645618)-sin(1.24642562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318683406018717-0.318712372508693)×R²
    abs(-0.05685316--0.05694904)×2.89664899763009e-05×R²
    9.58799999999996e-05×2.89664899763009e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×2.89664899763009e-05×40589641000000     		ar = 37903.190882585m²