Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32172 / 13885
↖ ↑ ↗
← N 71.418429°
W  3.273926°		 ← 194.63 m → N 71.418429°
W  3.268433°		 →
↑
194.63 m
↓
↑
194.63 m
↓
N 71.416678°
W  3.273926°		 ← 194.65 m →
37 883 m²		 N 71.416678°
W  3.268433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490913391113281 y=0.211875915527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490913391113281 × 216)
    floor (0.490913391113281 × 65536)
    floor (32172.5)     		tx = 32172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211875915527344 × 216)
    floor (0.211875915527344 × 65536)
    floor (13885.5)     		ty = 13885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32172 / 13885 ti = "16/32172/13885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32172/13885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32172 ÷ 216
    32172 ÷ 65536     		x = 0.49090576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13885 ÷ 216
    13885 ÷ 65536     		y = 0.211868286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49090576171875 × 2 - 1) × π
    -0.0181884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.05714078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211868286132812 × 2 - 1) × π
    0.576263427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.81038495105104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05714078} λ = -0.05714078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81038495105104))-π/2
    2×atan(6.11280010819547)-π/2
    2×1.40864152808629-π/2
    2.81728305617258-1.57079632675     		φ = 1.24648673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05714078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.273926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24648673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.418429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32172 KachelY 13885 -0.05714078 1.24648673 -3.273926 71.418429
    Oben rechts KachelX + 1 32173 KachelY 13885 -0.05704491 1.24648673 -3.268433 71.418429
    Unten links KachelX 32172 KachelY + 1 13886 -0.05714078 1.24645618 -3.273926 71.416678
    Unten rechts KachelX + 1 32173 KachelY + 1 13886 -0.05704491 1.24645618 -3.268433 71.416678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24648673-1.24645618) × R
    3.05499999999626e-05 × 6371000     		dl = 194.634049999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24648673-1.24645618) × R
    3.05499999999626e-05 × 6371000     		dr = 194.634049999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05714078--0.05704491) × cos(1.24648673) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.318654448709827 × 6371000     		do = 194.630240128065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05714078--0.05704491) × cos(1.24645618) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.318683406018717 × 6371000     		du = 194.647926898186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24648673)-sin(1.24645618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318654448709827-0.318683406018717)×R²
    abs(-0.05704491--0.05714078)×2.89573088894102e-05×R²
    9.58700000000048e-05×2.89573088894102e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×2.89573088894102e-05×40589641000000     		ar = 37883.3931151597m²