Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32169 / 16233
↖ ↑ ↗
← N 66.841647°
W  3.290406°		 ← 240.23 m → N 66.841647°
W  3.284912°		 →
↑
240.25 m
↓
↑
240.25 m
↓
N 66.839487°
W  3.290406°		 ← 240.25 m →
57 718 m²		 N 66.839487°
W  3.284912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490867614746094 y=0.247703552246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490867614746094 × 216)
    floor (0.490867614746094 × 65536)
    floor (32169.5)     		tx = 32169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247703552246094 × 216)
    floor (0.247703552246094 × 65536)
    floor (16233.5)     		ty = 16233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32169 / 16233 ti = "16/32169/16233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32169/16233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32169 ÷ 216
    32169 ÷ 65536     		x = 0.490859985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16233 ÷ 216
    16233 ÷ 65536     		y = 0.247695922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490859985351562 × 2 - 1) × π
    -0.018280029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05742841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247695922851562 × 2 - 1) × π
    0.504608154296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.58527327043526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05742841} λ = -0.05742841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58527327043526))-π/2
    2×atan(4.88062492679284)-π/2
    2×1.36870157358872-π/2
    2.73740314717744-1.57079632675     		φ = 1.16660682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05742841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.290406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16660682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.841647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32169 KachelY 16233 -0.05742841 1.16660682 -3.290406 66.841647
    Oben rechts KachelX + 1 32170 KachelY 16233 -0.05733253 1.16660682 -3.284912 66.841647
    Unten links KachelX 32169 KachelY + 1 16234 -0.05742841 1.16656911 -3.290406 66.839487
    Unten rechts KachelX + 1 32170 KachelY + 1 16234 -0.05733253 1.16656911 -3.284912 66.839487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16660682-1.16656911) × R
    3.77099999999686e-05 × 6371000     		dl = 240.2504099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16660682-1.16656911) × R
    3.77099999999686e-05 × 6371000     		dr = 240.2504099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05742841--0.05733253) × cos(1.16660682) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.393273704789336 × 6371000     		do = 240.231824615648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05742841--0.05733253) × cos(1.16656911) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.393308375892384 × 6371000     		du = 240.253003510258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16660682)-sin(1.16656911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393273704789336-0.393308375892384)×R²
    abs(-0.05733253--0.05742841)×3.46711030481672e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.46711030481672e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.46711030481672e-05×40589641000000     		ar = 57718.3384848023m²