Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32167 / 16234
↖ ↑ ↗
← N 66.839487°
W  3.301391°		 ← 240.23 m → N 66.839487°
W  3.295898°		 →
↑
240.25 m
↓
↑
240.25 m
↓
N 66.837326°
W  3.301391°		 ← 240.25 m →
57 717 m²		 N 66.837326°
W  3.295898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490837097167969 y=0.247718811035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490837097167969 × 216)
    floor (0.490837097167969 × 65536)
    floor (32167.5)     		tx = 32167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247718811035156 × 216)
    floor (0.247718811035156 × 65536)
    floor (16234.5)     		ty = 16234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32167 / 16234 ti = "16/32167/16234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32167/16234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32167 ÷ 216
    32167 ÷ 65536     		x = 0.490829467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16234 ÷ 216
    16234 ÷ 65536     		y = 0.247711181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490829467773438 × 2 - 1) × π
    -0.018341064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05762015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247711181640625 × 2 - 1) × π
    0.50457763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.58517739663602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05762015} λ = -0.05762015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58517739663602))-π/2
    2×atan(4.88015702516856)-π/2
    2×1.36868272043571-π/2
    2.73736544087141-1.57079632675     		φ = 1.16656911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05762015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.301391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16656911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.839487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32167 KachelY 16234 -0.05762015 1.16656911 -3.301391 66.839487
    Oben rechts KachelX + 1 32168 KachelY 16234 -0.05752428 1.16656911 -3.295898 66.839487
    Unten links KachelX 32167 KachelY + 1 16235 -0.05762015 1.16653140 -3.301391 66.837326
    Unten rechts KachelX + 1 32168 KachelY + 1 16235 -0.05752428 1.16653140 -3.295898 66.837326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16656911-1.16653140) × R
    3.77099999999686e-05 × 6371000     		dl = 240.2504099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16656911-1.16653140) × R
    3.77099999999686e-05 × 6371000     		dr = 240.2504099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05762015--0.05752428) × cos(1.16656911) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.393308375892384 × 6371000     		do = 240.227945833643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05762015--0.05752428) × cos(1.16653140) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.393343046436131 × 6371000     		du = 240.249122177743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16656911)-sin(1.16653140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393308375892384-0.393343046436131)×R²
    abs(-0.05752428--0.05762015)×3.46705437462291e-05×R²
    9.58700000000048e-05×3.46705437462291e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×3.46705437462291e-05×40589641000000     		ar = 57717.4062993145m²