Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32166 / 16235
↖ ↑ ↗
← N 66.837326°
W  3.306885°		 ← 240.27 m → N 66.837326°
W  3.301391°		 →
↑
240.25 m
↓
↑
240.25 m
↓
N 66.835165°
W  3.306885°		 ← 240.30 m →
57 729 m²		 N 66.835165°
W  3.301391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490821838378906 y=0.247734069824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490821838378906 × 216)
    floor (0.490821838378906 × 65536)
    floor (32166.5)     		tx = 32166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247734069824219 × 216)
    floor (0.247734069824219 × 65536)
    floor (16235.5)     		ty = 16235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32166 / 16235 ti = "16/32166/16235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32166/16235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32166 ÷ 216
    32166 ÷ 65536     		x = 0.490814208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16235 ÷ 216
    16235 ÷ 65536     		y = 0.247726440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490814208984375 × 2 - 1) × π
    -0.01837158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05771603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247726440429688 × 2 - 1) × π
    0.504547119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58508152283678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05771603} λ = -0.05771603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58508152283678))-π/2
    2×atan(4.87968916840163)-π/2
    2×1.36866386562077-π/2
    2.73732773124154-1.57079632675     		φ = 1.16653140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05771603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.306885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16653140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.837326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32166 KachelY 16235 -0.05771603 1.16653140 -3.306885 66.837326
    Oben rechts KachelX + 1 32167 KachelY 16235 -0.05762015 1.16653140 -3.301391 66.837326
    Unten links KachelX 32166 KachelY + 1 16236 -0.05771603 1.16649369 -3.306885 66.835165
    Unten rechts KachelX + 1 32167 KachelY + 1 16236 -0.05762015 1.16649369 -3.301391 66.835165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16653140-1.16649369) × R
    3.77099999999686e-05 × 6371000     		dl = 240.2504099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16653140-1.16649369) × R
    3.77099999999686e-05 × 6371000     		dr = 240.2504099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05771603--0.05762015) × cos(1.16653140) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.393343046436131 × 6371000     		do = 240.274182063218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05771603--0.05762015) × cos(1.16649369) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.393377716420526 × 6371000     		du = 240.295360274497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16653140)-sin(1.16649369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393343046436131-0.393377716420526)×R²
    abs(-0.05762015--0.05771603)×3.46699843951637e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.46699843951637e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.46699843951637e-05×40589641000000     		ar = 57728.5147970073m²