Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 32164 / 13860
↖ ↑ ↗
← N 71.462140°
W  3.317871°		 ← 194.19 m → N 71.462140°
W  3.312378°		 →
↑
194.19 m
↓
↑
194.19 m
↓
N 71.460393°
W  3.317871°		 ← 194.21 m →
37 711 m²		 N 71.460393°
W  3.312378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490791320800781 y=0.211494445800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490791320800781 × 216)
    floor (0.490791320800781 × 65536)
    floor (32164.5)     		tx = 32164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211494445800781 × 216)
    floor (0.211494445800781 × 65536)
    floor (13860.5)     		ty = 13860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32164 / 13860 ti = "16/32164/13860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32164/13860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32164 ÷ 216
    32164 ÷ 65536     		x = 0.49078369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13860 ÷ 216
    13860 ÷ 65536     		y = 0.21148681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49078369140625 × 2 - 1) × π
    -0.0184326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.05790777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21148681640625 × 2 - 1) × π
    0.5770263671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81278179603204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05790777} λ = -0.05790777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81278179603204))-π/2
    2×atan(6.12746911509983)-π/2
    2×1.40902297723678-π/2
    2.81804595447356-1.57079632675     		φ = 1.24724963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05790777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.317871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24724963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.462140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32164 KachelY 13860 -0.05790777 1.24724963 -3.317871 71.462140
    Oben rechts KachelX + 1 32165 KachelY 13860 -0.05781190 1.24724963 -3.312378 71.462140
    Unten links KachelX 32164 KachelY + 1 13861 -0.05790777 1.24721915 -3.317871 71.460393
    Unten rechts KachelX + 1 32165 KachelY + 1 13861 -0.05781190 1.24721915 -3.312378 71.460393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24724963-1.24721915) × R
    3.04799999999439e-05 × 6371000     		dl = 194.188079999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24724963-1.24721915) × R
    3.04799999999439e-05 × 6371000     		dr = 194.188079999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05790777--0.05781190) × cos(1.24724963) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317931225299367 × 6371000     		do = 194.188504113964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05790777--0.05781190) × cos(1.24721915) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.317960123659631 × 6371000     		du = 194.206154878986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24724963)-sin(1.24721915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317931225299367-0.317960123659631)×R²
    abs(-0.05781190--0.05790777)×2.88983602641513e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.88983602641513e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.88983602641513e-05×40589641000000     		ar = 37710.8065586998m²