Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3215 / 3443
↖ ↑ ↗
← N 80.439458°
W144.678955°		 ← 202.89 m → N 80.439458°
W144.667969°		 →
↑
202.92 m
↓
↑
202.92 m
↓
N 80.437633°
W144.678955°		 ← 202.93 m →
41 174 m²		 N 80.437633°
W144.667969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.0981292724609375 y=0.105087280273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.0981292724609375 × 215)
    floor (0.0981292724609375 × 32768)
    floor (3215.5)     		tx = 3215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.105087280273438 × 215)
    floor (0.105087280273438 × 32768)
    floor (3443.5)     		ty = 3443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3215 / 3443 ti = "15/3215/3443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3215/3443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3215 ÷ 215
    3215 ÷ 32768     		x = 0.098114013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3443 ÷ 215
    3443 ÷ 32768     		y = 0.105072021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.098114013671875 × 2 - 1) × π
    -0.80377197265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.52512412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.105072021484375 × 2 - 1) × π
    0.78985595703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.48140567193259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.52512412} λ = -2.52512412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48140567193259))-π/2
    2×atan(11.9580617210639)-π/2
    2×1.48736485806396-π/2
    2.97472971612791-1.57079632675     		φ = 1.40393339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.52512412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -144.678955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40393339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.439458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3215 KachelY 3443 -2.52512412 1.40393339 -144.678955 80.439458
    Oben rechts KachelX + 1 3216 KachelY 3443 -2.52493238 1.40393339 -144.667969 80.439458
    Unten links KachelX 3215 KachelY + 1 3444 -2.52512412 1.40390154 -144.678955 80.437633
    Unten rechts KachelX + 1 3216 KachelY + 1 3444 -2.52493238 1.40390154 -144.667969 80.437633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40393339-1.40390154) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dl = 202.916350000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40393339-1.40390154) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dr = 202.916350000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.52512412--2.52493238) × cos(1.40393339) × R
    0.000191739999999996 × 0.166089679955362 × 6371000     		do = 202.891090479894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.52512412--2.52493238) × cos(1.40390154) × R
    0.000191739999999996 × 0.166121087495384 × 6371000     		du = 202.929457162557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40393339)-sin(1.40390154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166089679955362-0.166121087495384)×R²
    abs(-2.52493238--2.52512412)×3.14075400220104e-05×R²
    0.000191739999999996×3.14075400220104e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.14075400220104e-05×40589641000000     		ar = 41173.8121450071m²