Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32140 / 16252
↖ ↑ ↗
← N 66.800567°
W  3.449707°		 ← 240.63 m → N 66.800567°
W  3.444214°		 →
↑
240.63 m
↓
↑
240.63 m
↓
N 66.798403°
W  3.449707°		 ← 240.66 m →
57 907 m²		 N 66.798403°
W  3.444214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490425109863281 y=0.247993469238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490425109863281 × 216)
    floor (0.490425109863281 × 65536)
    floor (32140.5)     		tx = 32140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247993469238281 × 216)
    floor (0.247993469238281 × 65536)
    floor (16252.5)     		ty = 16252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32140 / 16252 ti = "16/32140/16252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32140/16252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32140 ÷ 216
    32140 ÷ 65536     		x = 0.49041748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16252 ÷ 216
    16252 ÷ 65536     		y = 0.24798583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49041748046875 × 2 - 1) × π
    -0.0191650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.06020875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24798583984375 × 2 - 1) × π
    0.5040283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.58345166824969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06020875} λ = -0.06020875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58345166824969))-π/2
    2×atan(4.87174246237376)-π/2
    2×1.36834307937677-π/2
    2.73668615875355-1.57079632675     		φ = 1.16588983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06020875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.449707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16588983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.800567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32140 KachelY 16252 -0.06020875 1.16588983 -3.449707 66.800567
    Oben rechts KachelX + 1 32141 KachelY 16252 -0.06011287 1.16588983 -3.444214 66.800567
    Unten links KachelX 32140 KachelY + 1 16253 -0.06020875 1.16585206 -3.449707 66.798403
    Unten rechts KachelX + 1 32141 KachelY + 1 16253 -0.06011287 1.16585206 -3.444214 66.798403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16588983-1.16585206) × R
    3.7770000000048e-05 × 6371000     		dl = 240.632670000306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16588983-1.16585206) × R
    3.7770000000048e-05 × 6371000     		dr = 240.632670000306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06020875--0.06011287) × cos(1.16588983) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.393932819628529 × 6371000     		do = 240.634445890659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06020875--0.06011287) × cos(1.16585206) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.393967535236446 × 6371000     		du = 240.655651971134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16588983)-sin(1.16585206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393932819628529-0.393967535236446)×R²
    abs(-0.06011287--0.06020875)×3.4715607917013e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.4715607917013e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.4715607917013e-05×40589641000000     		ar = 57907.0606536095m²