Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3214 / 3439
↖ ↑ ↗
← N 80.446754°
W144.689941°		 ← 202.75 m → N 80.446754°
W144.678955°		 →
↑
202.79 m
↓
↑
202.79 m
↓
N 80.444930°
W144.689941°		 ← 202.79 m →
41 119 m²		 N 80.444930°
W144.678955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.0980987548828125 y=0.104965209960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.0980987548828125 × 215)
    floor (0.0980987548828125 × 32768)
    floor (3214.5)     		tx = 3214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104965209960938 × 215)
    floor (0.104965209960938 × 32768)
    floor (3439.5)     		ty = 3439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3214 / 3439 ti = "15/3214/3439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3214/3439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3214 ÷ 215
    3214 ÷ 32768     		x = 0.09808349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3439 ÷ 215
    3439 ÷ 32768     		y = 0.104949951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.09808349609375 × 2 - 1) × π
    -0.8038330078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.52531587
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104949951171875 × 2 - 1) × π
    0.79010009765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48217266232651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.52531587} λ = -2.52531587}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48217266232651))-π/2
    2×atan(11.9672369577432)-π/2
    2×1.48742852857733-π/2
    2.97485705715467-1.57079632675     		φ = 1.40406073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.52531587} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -144.689941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40406073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.446754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3214 KachelY 3439 -2.52531587 1.40406073 -144.689941 80.446754
    Oben rechts KachelX + 1 3215 KachelY 3439 -2.52512412 1.40406073 -144.678955 80.446754
    Unten links KachelX 3214 KachelY + 1 3440 -2.52531587 1.40402890 -144.689941 80.444930
    Unten rechts KachelX + 1 3215 KachelY + 1 3440 -2.52512412 1.40402890 -144.678955 80.444930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40406073-1.40402890) × R
    3.1830000000177e-05 × 6371000     		dl = 202.788930001128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40406073-1.40402890) × R
    3.1830000000177e-05 × 6371000     		dr = 202.788930001128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.52531587--2.52512412) × cos(1.40406073) × R
    0.000191749999999935 × 0.16596410727865 × 6371000     		do = 202.74826754274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.52531587--2.52512412) × cos(1.40402890) × R
    0.000191749999999935 × 0.165995495769574 × 6371000     		du = 202.786612955251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40406073)-sin(1.40402890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16596410727865-0.165995495769574)×R²
    abs(-2.52512412--2.52531587)×3.1388490924017e-05×R²
    0.000191749999999935×3.1388490924017e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.1388490924017e-05×40589641000000     		ar = 41118.9922509933m²