Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3214 / 3007
↖ ↑ ↗
← S 64.129783°
E102.480469°		 ← 4 264.29 m → S 64.129783°
E102.568359°		 →
↑
4 261.37 m
↓
↑
4 261.37 m
↓
S 64.168107°
E102.480469°		 ← 4 258.40 m →
18 159 177 m²		 S 64.168107°
E102.568359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7847900390625 y=0.7342529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7847900390625 × 212)
    floor (0.7847900390625 × 4096)
    floor (3214.5)     		tx = 3214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7342529296875 × 212)
    floor (0.7342529296875 × 4096)
    floor (3007.5)     		ty = 3007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3214 / 3007 ti = "12/3214/3007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3214/3007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3214 ÷ 212
    3214 ÷ 4096     		x = 0.78466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3007 ÷ 212
    3007 ÷ 4096     		y = 0.734130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78466796875 × 2 - 1) × π
    0.5693359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.78862160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734130859375 × 2 - 1) × π
    -0.46826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47108757554028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78862160} λ = 1.78862160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47108757554028))-π/2
    2×atan(0.229675559783959)-π/2
    2×0.22576022653395-π/2
    0.451520453067901-1.57079632675     		φ = -1.11927587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78862160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.480469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11927587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.129783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3214 KachelY 3007 1.78862160 -1.11927587 102.480469 -64.129783
    Oben rechts KachelX + 1 3215 KachelY 3007 1.79015558 -1.11927587 102.568359 -64.129783
    Unten links KachelX 3214 KachelY + 1 3008 1.78862160 -1.11994474 102.480469 -64.168107
    Unten rechts KachelX + 1 3215 KachelY + 1 3008 1.79015558 -1.11994474 102.568359 -64.168107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11927587--1.11994474) × R
    0.000668869999999933 × 6371000     		dl = 4261.37076999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11927587--1.11994474) × R
    0.000668869999999933 × 6371000     		dr = 4261.37076999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78862160-1.79015558) × cos(-1.11927587) × R
    0.00153398000000005 × 0.436334121724797 × 6371000     		do = 4264.28751601265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78862160-1.79015558) × cos(-1.11994474) × R
    0.00153398000000005 × 0.435732185161907 × 6371000     		du = 4258.40479806152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11927587)-sin(-1.11994474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436334121724797-0.435732185161907)×R²
    abs(1.79015558-1.78862160)×0.000601936562889871×R²
    0.00153398000000005×0.000601936562889871×6371000²
    0.00153398000000005×0.000601936562889871×40589641000000     		ar = 18159176.631462m²