Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32134 / 47500
↖ ↑ ↗
← S 62.623668°
W  3.482666°		 ← 280.89 m → S 62.623668°
W  3.477173°		 →
↑
280.83 m
↓
↑
280.83 m
↓
S 62.626193°
W  3.482666°		 ← 280.87 m →
78 880 m²		 S 62.626193°
W  3.477173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490333557128906 y=0.724800109863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490333557128906 × 216)
    floor (0.490333557128906 × 65536)
    floor (32134.5)     		tx = 32134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724800109863281 × 216)
    floor (0.724800109863281 × 65536)
    floor (47500.5)     		ty = 47500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32134 / 47500 ti = "16/32134/47500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32134/47500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32134 ÷ 216
    32134 ÷ 65536     		x = 0.490325927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47500 ÷ 216
    47500 ÷ 65536     		y = 0.72479248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.490325927734375 × 2 - 1) × π
    -0.01934814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.06078399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72479248046875 × 2 - 1) × π
    -0.4495849609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.41241281040533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06078399} λ = -0.06078399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.41241281040533))-π/2
    2×atan(0.243554921787102)-π/2
    2×0.238903568973508-π/2
    0.477807137947015-1.57079632675     		φ = -1.09298919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06078399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.482666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09298919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.623668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32134 KachelY 47500 -0.06078399 -1.09298919 -3.482666 -62.623668
    Oben rechts KachelX + 1 32135 KachelY 47500 -0.06068811 -1.09298919 -3.477173 -62.623668
    Unten links KachelX 32134 KachelY + 1 47501 -0.06078399 -1.09303327 -3.482666 -62.626193
    Unten rechts KachelX + 1 32135 KachelY + 1 47501 -0.06068811 -1.09303327 -3.477173 -62.626193
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09298919--1.09303327) × R
    4.40800000001129e-05 × 6371000     		dl = 280.833680000719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09298919--1.09303327) × R
    4.40800000001129e-05 × 6371000     		dr = 280.833680000719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06078399--0.06068811) × cos(-1.09298919) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.459833008304508 × 6371000     		do = 280.88967367566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06078399--0.06068811) × cos(-1.09303327) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.459793864579402 × 6371000     		du = 280.865762673246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09298919)-sin(-1.09303327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.459833008304508-0.459793864579402)×R²
    abs(-0.06068811--0.06078399)×3.91437251064386e-05×R²
    9.58799999999996e-05×3.91437251064386e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×3.91437251064386e-05×40589641000000     		ar = 78879.9232378458m²