Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32132 / 13980
↖ ↑ ↗
← N 71.251419°
W  3.493653°		 ← 196.34 m → N 71.251419°
W  3.488159°		 →
↑
196.35 m
↓
↑
196.35 m
↓
N 71.249653°
W  3.493653°		 ← 196.36 m →
38 553 m²		 N 71.249653°
W  3.488159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.490303039550781 y=0.213325500488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.490303039550781 × 216)
    floor (0.490303039550781 × 65536)
    floor (32132.5)     		tx = 32132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213325500488281 × 216)
    floor (0.213325500488281 × 65536)
    floor (13980.5)     		ty = 13980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32132 / 13980 ti = "16/32132/13980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32132/13980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32132 ÷ 216
    32132 ÷ 65536     		x = 0.49029541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13980 ÷ 216
    13980 ÷ 65536     		y = 0.21331787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.0194091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.06097574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21331787109375 × 2 - 1) × π
    0.5733642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.80127694012323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06097574} λ = -0.06097574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80127694012323))-π/2
    2×atan(6.05737743629692)-π/2
    2×1.40718409391157-π/2
    2.81436818782314-1.57079632675     		φ = 1.24357186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06097574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.493653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24357186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.251419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32132 KachelY 13980 -0.06097574 1.24357186 -3.493653 71.251419
    Oben rechts KachelX + 1 32133 KachelY 13980 -0.06087986 1.24357186 -3.488159 71.251419
    Unten links KachelX 32132 KachelY + 1 13981 -0.06097574 1.24354104 -3.493653 71.249653
    Unten rechts KachelX + 1 32133 KachelY + 1 13981 -0.06087986 1.24354104 -3.488159 71.249653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24357186-1.24354104) × R
    3.0820000000098e-05 × 6371000     		dl = 196.354220000624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24357186-1.24354104) × R
    3.0820000000098e-05 × 6371000     		dr = 196.354220000624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06097574--0.06087986) × cos(1.24357186) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.321416011682644 × 6371000     		do = 196.337446432039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06097574--0.06087986) × cos(1.24354104) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.321445196161939 × 6371000     		du = 196.35527381441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24357186)-sin(1.24354104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321416011682644-0.321445196161939)×R²
    abs(-0.06087986--0.06097574)×2.91844792957296e-05×R²
    9.58799999999996e-05×2.91844792957296e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×2.91844792957296e-05×40589641000000     		ar = 38553.4363949474m²