Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32109 / 13771
↖ ↑ ↗
← N 71.616946°
W  3.619995°		 ← 192.62 m → N 71.616946°
W  3.614502°		 →
↑
192.60 m
↓
↑
192.60 m
↓
N 71.615214°
W  3.619995°		 ← 192.64 m →
37 100 m²		 N 71.615214°
W  3.614502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.489952087402344 y=0.210136413574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.489952087402344 × 216)
    floor (0.489952087402344 × 65536)
    floor (32109.5)     		tx = 32109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210136413574219 × 216)
    floor (0.210136413574219 × 65536)
    floor (13771.5)     		ty = 13771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32109 / 13771 ti = "16/32109/13771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32109/13771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32109 ÷ 216
    32109 ÷ 65536     		x = 0.489944458007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13771 ÷ 216
    13771 ÷ 65536     		y = 0.210128784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.489944458007812 × 2 - 1) × π
    -0.020111083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.06318083
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210128784179688 × 2 - 1) × π
    0.579742431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.82131456416441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06318083} λ = -0.06318083}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82131456416441))-π/2
    2×atan(6.17997708889642)-π/2
    2×1.41037392034958-π/2
    2.82074784069916-1.57079632675     		φ = 1.24995151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06318083} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.619995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24995151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.616946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32109 KachelY 13771 -0.06318083 1.24995151 -3.619995 71.616946
    Oben rechts KachelX + 1 32110 KachelY 13771 -0.06308496 1.24995151 -3.614502 71.616946
    Unten links KachelX 32109 KachelY + 1 13772 -0.06318083 1.24992128 -3.619995 71.615214
    Unten rechts KachelX + 1 32110 KachelY + 1 13772 -0.06308496 1.24992128 -3.614502 71.615214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24995151-1.24992128) × R
    3.0230000000131e-05 × 6371000     		dl = 192.595330000835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24995151-1.24992128) × R
    3.0230000000131e-05 × 6371000     		dr = 192.595330000835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06318083--0.06308496) × cos(1.24995151) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.315368378288738 × 6371000     		do = 192.62314850349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06318083--0.06308496) × cos(1.24992128) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.315397065487426 × 6371000     		du = 192.640670293605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24995151)-sin(1.24992128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315368378288738-0.315397065487426)×R²
    abs(-0.06308496--0.06318083)×2.86871986888704e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.86871986888704e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.86871986888704e-05×40589641000000     		ar = 37100.0061623871m²