Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32104 / 13769
↖ ↑ ↗
← N 71.620411°
W  3.647461°		 ← 192.59 m → N 71.620411°
W  3.641968°		 →
↑
192.60 m
↓
↑
192.60 m
↓
N 71.618679°
W  3.647461°		 ← 192.61 m →
37 093 m²		 N 71.618679°
W  3.641968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.489875793457031 y=0.210105895996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.489875793457031 × 216)
    floor (0.489875793457031 × 65536)
    floor (32104.5)     		tx = 32104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210105895996094 × 216)
    floor (0.210105895996094 × 65536)
    floor (13769.5)     		ty = 13769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32104 / 13769 ti = "16/32104/13769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32104/13769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32104 ÷ 216
    32104 ÷ 65536     		x = 0.4898681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13769 ÷ 216
    13769 ÷ 65536     		y = 0.210098266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4898681640625 × 2 - 1) × π
    -0.020263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.06366020
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210098266601562 × 2 - 1) × π
    0.579803466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.82150631176289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06366020} λ = -0.06366020}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82150631176289))-π/2
    2×atan(6.18116219827919)-π/2
    2×1.41040415316309-π/2
    2.82080830632618-1.57079632675     		φ = 1.25001198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06366020} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.647461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25001198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.620411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32104 KachelY 13769 -0.06366020 1.25001198 -3.647461 71.620411
    Oben rechts KachelX + 1 32105 KachelY 13769 -0.06356433 1.25001198 -3.641968 71.620411
    Unten links KachelX 32104 KachelY + 1 13770 -0.06366020 1.24998175 -3.647461 71.618679
    Unten rechts KachelX + 1 32105 KachelY + 1 13770 -0.06356433 1.24998175 -3.641968 71.618679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25001198-1.24998175) × R
    3.0230000000131e-05 × 6371000     		dl = 192.595330000835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25001198-1.24998175) × R
    3.0230000000131e-05 × 6371000     		dr = 192.595330000835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06366020--0.06356433) × cos(1.25001198) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.315310993536901 × 6371000     		do = 192.588098598884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06366020--0.06356433) × cos(1.24998175) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.31533968131206 × 6371000     		du = 192.6056207411m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25001198)-sin(1.24998175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315310993536901-0.31533968131206)×R²
    abs(-0.06356433--0.06366020)×2.86877751585757e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.86877751585757e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.86877751585757e-05×40589641000000     		ar = 37093.2557482597m²