Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32096 / 16224
↖ ↑ ↗
← N 66.861082°
W  3.691406°		 ← 240.02 m → N 66.861082°
W  3.685913°		 →
↑
240.06 m
↓
↑
240.06 m
↓
N 66.858924°
W  3.691406°		 ← 240.04 m →
57 621 m²		 N 66.858924°
W  3.685913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.489753723144531 y=0.247566223144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.489753723144531 × 216)
    floor (0.489753723144531 × 65536)
    floor (32096.5)     		tx = 32096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247566223144531 × 216)
    floor (0.247566223144531 × 65536)
    floor (16224.5)     		ty = 16224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32096 / 16224 ti = "16/32096/16224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32096/16224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32096 ÷ 216
    32096 ÷ 65536     		x = 0.48974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16224 ÷ 216
    16224 ÷ 65536     		y = 0.24755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48974609375 × 2 - 1) × π
    -0.0205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.06442719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24755859375 × 2 - 1) × π
    0.5048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.58613613462842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06442719} λ = -0.06442719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58613613462842))-π/2
    2×atan(4.88483806070222)-π/2
    2×1.36887117719909-π/2
    2.73774235439819-1.57079632675     		φ = 1.16694603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06442719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.691406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16694603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.861082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32096 KachelY 16224 -0.06442719 1.16694603 -3.691406 66.861082
    Oben rechts KachelX + 1 32097 KachelY 16224 -0.06433132 1.16694603 -3.685913 66.861082
    Unten links KachelX 32096 KachelY + 1 16225 -0.06442719 1.16690835 -3.691406 66.858924
    Unten rechts KachelX + 1 32097 KachelY + 1 16225 -0.06433132 1.16690835 -3.685913 66.858924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16694603-1.16690835) × R
    3.76800000001509e-05 × 6371000     		dl = 240.059280000962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16694603-1.16690835) × R
    3.76800000001509e-05 × 6371000     		dr = 240.059280000962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06442719--0.06433132) × cos(1.16694603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.392961805221324 × 6371000     		do = 240.016264706301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06442719--0.06433132) × cos(1.16690835) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.392996453767003 × 6371000     		du = 240.037427614251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16694603)-sin(1.16690835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392961805221324-0.392996453767003)×R²
    abs(-0.06433132--0.06442719)×3.46485456793055e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46485456793055e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46485456793055e-05×40589641000000     		ar = 57620.6718769971m²