Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3209 / 3119
↖ ↑ ↗
← S 68.106101°
E102.041015°		 ← 3 644.26 m → S 68.106101°
E102.128907°		 →
↑
3 641.66 m
↓
↑
3 641.66 m
↓
S 68.138852°
E102.041015°		 ← 3 639.08 m →
13 261 740 m²		 S 68.138852°
E102.128907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7835693359375 y=0.7615966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7835693359375 × 212)
    floor (0.7835693359375 × 4096)
    floor (3209.5)     		tx = 3209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7615966796875 × 212)
    floor (0.7615966796875 × 4096)
    floor (3119.5)     		ty = 3119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3209 / 3119 ti = "12/3209/3119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3209/3119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3209 ÷ 212
    3209 ÷ 4096     		x = 0.783447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3119 ÷ 212
    3119 ÷ 4096     		y = 0.761474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.783447265625 × 2 - 1) × π
    0.56689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.78095169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761474609375 × 2 - 1) × π
    -0.52294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64289342377856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.78095169} λ = 1.78095169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64289342377856))-π/2
    2×atan(0.193419587032253)-π/2
    2×0.191060307304475-π/2
    0.382120614608949-1.57079632675     		φ = -1.18867571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.78095169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.041015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18867571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.106101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3209 KachelY 3119 1.78095169 -1.18867571 102.041015 -68.106101
    Oben rechts KachelX + 1 3210 KachelY 3119 1.78248568 -1.18867571 102.128907 -68.106101
    Unten links KachelX 3209 KachelY + 1 3120 1.78095169 -1.18924731 102.041015 -68.138852
    Unten rechts KachelX + 1 3210 KachelY + 1 3120 1.78248568 -1.18924731 102.128907 -68.138852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18867571--1.18924731) × R
    0.000571600000000005 × 6371000     		dl = 3641.66360000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18867571--1.18924731) × R
    0.000571600000000005 × 6371000     		dr = 3641.66360000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.78095169-1.78248568) × cos(-1.18867571) × R
    0.00153398999999999 × 0.372888975742732 × 6371000     		do = 3644.26271252027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.78095169-1.78248568) × cos(-1.18924731) × R
    0.00153398999999999 × 0.372358540952008 × 6371000     		du = 3639.07874663497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18867571)-sin(-1.18924731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372888975742732-0.372358540952008)×R²
    abs(1.78248568-1.78095169)×0.000530434790723566×R²
    0.00153398999999999×0.000530434790723566×6371000²
    0.00153398999999999×0.000530434790723566×40589641000000     		ar = 13261740.1001654m²