Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32085 / 13781
↖ ↑ ↗
← N 71.599615°
W  3.751831°		 ← 192.80 m → N 71.599615°
W  3.746338°		 →
↑
192.79 m
↓
↑
192.79 m
↓
N 71.597881°
W  3.751831°		 ← 192.82 m →
37 171 m²		 N 71.597881°
W  3.746338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.489585876464844 y=0.210289001464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.489585876464844 × 216)
    floor (0.489585876464844 × 65536)
    floor (32085.5)     		tx = 32085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210289001464844 × 216)
    floor (0.210289001464844 × 65536)
    floor (13781.5)     		ty = 13781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32085 / 13781 ti = "16/32085/13781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32085/13781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32085 ÷ 216
    32085 ÷ 65536     		x = 0.489578247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13781 ÷ 216
    13781 ÷ 65536     		y = 0.210281372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.489578247070312 × 2 - 1) × π
    -0.020843505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.06548180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210281372070312 × 2 - 1) × π
    0.579437255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.82035582617201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06548180} λ = -0.06548180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82035582617201))-π/2
    2×atan(6.17405494941281)-π/2
    2×1.4102226737381-π/2
    2.82044534747619-1.57079632675     		φ = 1.24964902
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06548180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.751831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24964902 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.599615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32085 KachelY 13781 -0.06548180 1.24964902 -3.751831 71.599615
    Oben rechts KachelX + 1 32086 KachelY 13781 -0.06538593 1.24964902 -3.746338 71.599615
    Unten links KachelX 32085 KachelY + 1 13782 -0.06548180 1.24961876 -3.751831 71.597881
    Unten rechts KachelX + 1 32086 KachelY + 1 13782 -0.06538593 1.24961876 -3.746338 71.597881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24964902-1.24961876) × R
    3.02600000001707e-05 × 6371000     		dl = 192.786460001088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24964902-1.24961876) × R
    3.02600000001707e-05 × 6371000     		dr = 192.786460001088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06548180--0.06538593) × cos(1.24964902) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.31565541758833 × 6371000     		do = 192.798468597219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06548180--0.06538593) × cos(1.24961876) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.315684130367691 × 6371000     		du = 192.816006011695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24964902)-sin(1.24961876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.31565541758833-0.315684130367691)×R²
    abs(-0.06538593--0.06548180)×2.87127793611175e-05×R²
    9.58700000000118e-05×2.87127793611175e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×2.87127793611175e-05×40589641000000     		ar = 37170.6247451883m²