Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32042 / 16170
↖ ↑ ↗
← N 66.977370°
W  3.988037°		 ← 238.90 m → N 66.977370°
W  3.982544°		 →
↑
238.91 m
↓
↑
238.91 m
↓
N 66.975221°
W  3.988037°		 ← 238.92 m →
57 079 m²		 N 66.975221°
W  3.982544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488929748535156 y=0.246742248535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488929748535156 × 216)
    floor (0.488929748535156 × 65536)
    floor (32042.5)     		tx = 32042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246742248535156 × 216)
    floor (0.246742248535156 × 65536)
    floor (16170.5)     		ty = 16170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32042 / 16170 ti = "16/32042/16170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32042/16170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32042 ÷ 216
    32042 ÷ 65536     		x = 0.488922119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16170 ÷ 216
    16170 ÷ 65536     		y = 0.246734619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.488922119140625 × 2 - 1) × π
    -0.02215576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.06960438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246734619140625 × 2 - 1) × π
    0.50653076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.59131331978738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.06960438} λ = -0.06960438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59131331978738))-π/2
    2×atan(4.91019334969332)-π/2
    2×1.36988597702046-π/2
    2.73977195404092-1.57079632675     		φ = 1.16897563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.06960438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.988037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16897563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.977370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32042 KachelY 16170 -0.06960438 1.16897563 -3.988037 66.977370
    Oben rechts KachelX + 1 32043 KachelY 16170 -0.06950850 1.16897563 -3.982544 66.977370
    Unten links KachelX 32042 KachelY + 1 16171 -0.06960438 1.16893813 -3.988037 66.975221
    Unten rechts KachelX + 1 32043 KachelY + 1 16171 -0.06950850 1.16893813 -3.982544 66.975221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16897563-1.16893813) × R
    3.75000000001346e-05 × 6371000     		dl = 238.912500000858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16897563-1.16893813) × R
    3.75000000001346e-05 × 6371000     		dr = 238.912500000858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.06960438--0.06950850) × cos(1.16897563) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.391094668733404 × 6371000     		do = 238.900757215891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.06960438--0.06950850) × cos(1.16893813) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.391129181600471 × 6371000     		du = 238.921839451818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16897563)-sin(1.16893813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391094668733404-0.391129181600471)×R²
    abs(-0.06950850--0.06960438)×3.45128670675154e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.45128670675154e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.45128670675154e-05×40589641000000     		ar = 57078.8955700361m²