Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3202 / 2946
↖ ↑ ↗
← N 74.764299°
W109.643555°		 ← 642.05 m → N 74.764299°
W109.621582°		 →
↑
642.20 m
↓
↑
642.20 m
↓
N 74.758524°
W109.643555°		 ← 642.29 m →
412 401 m²		 N 74.758524°
W109.621582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3202 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.195465087890625 y=0.179840087890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.195465087890625 × 214)
    floor (0.195465087890625 × 16384)
    floor (3202.5)     		tx = 3202
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.179840087890625 × 214)
    floor (0.179840087890625 × 16384)
    floor (2946.5)     		ty = 2946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3202 / 2946 ti = "14/3202/2946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3202/2946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3202 ÷ 214
    3202 ÷ 16384     		x = 0.1954345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2946 ÷ 214
    2946 ÷ 16384     		y = 0.1798095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1954345703125 × 2 - 1) × π
    -0.609130859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.91364103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1798095703125 × 2 - 1) × π
    0.640380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.01181580325452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.91364103} λ = -1.91364103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.01181580325452))-π/2
    2×atan(7.47688157450495)-π/2
    2×1.4378397525117-π/2
    2.87567950502341-1.57079632675     		φ = 1.30488318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.91364103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -109.643555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30488318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.764299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3202 KachelY 2946 -1.91364103 1.30488318 -109.643555 74.764299
    Oben rechts KachelX + 1 3203 KachelY 2946 -1.91325754 1.30488318 -109.621582 74.764299
    Unten links KachelX 3202 KachelY + 1 2947 -1.91364103 1.30478238 -109.643555 74.758524
    Unten rechts KachelX + 1 3203 KachelY + 1 2947 -1.91325754 1.30478238 -109.621582 74.758524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30488318-1.30478238) × R
    0.000100800000000012 × 6371000     		dl = 642.196800000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30488318-1.30478238) × R
    0.000100800000000012 × 6371000     		dr = 642.196800000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.91364103--1.91325754) × cos(1.30488318) × R
    0.000383489999999931 × 0.26279042995619 × 6371000     		do = 642.053465139306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.91364103--1.91325754) × cos(1.30478238) × R
    0.000383489999999931 × 0.262887685797009 × 6371000     		du = 642.291082048009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30488318)-sin(1.30478238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.26279042995619-0.262887685797009)×R²
    abs(-1.91325754--1.91364103)×9.72558408194324e-05×R²
    0.000383489999999931×9.72558408194324e-05×6371000²
    0.000383489999999931×9.72558408194324e-05×40589641000000     		ar = 412400.979499187m²