Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 32015 / 16206
↖ ↑ ↗
← N 66.899907°
W  4.136352°		 ← 239.64 m → N 66.899907°
W  4.130860°		 →
↑
239.68 m
↓
↑
239.68 m
↓
N 66.897751°
W  4.136352°		 ← 239.66 m →
57 438 m²		 N 66.897751°
W  4.130860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 32015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.488517761230469 y=0.247291564941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.488517761230469 × 216)
    floor (0.488517761230469 × 65536)
    floor (32015.5)     		tx = 32015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.247291564941406 × 216)
    floor (0.247291564941406 × 65536)
    floor (16206.5)     		ty = 16206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 32015 / 16206 ti = "16/32015/16206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/32015/16206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 32015 ÷ 216
    32015 ÷ 65536     		x = 0.488510131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16206 ÷ 216
    16206 ÷ 65536     		y = 0.247283935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.488510131835938 × 2 - 1) × π
    -0.022979736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.07219297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.247283935546875 × 2 - 1) × π
    0.50543212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.58786186301474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07219297} λ = -0.07219297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58786186301474))-π/2
    2×atan(4.89327524245426)-π/2
    2×1.3692099809508-π/2
    2.7384199619016-1.57079632675     		φ = 1.16762364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07219297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.136352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16762364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.899907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 32015 KachelY 16206 -0.07219297 1.16762364 -4.136352 66.899907
    Oben rechts KachelX + 1 32016 KachelY 16206 -0.07209710 1.16762364 -4.130860 66.899907
    Unten links KachelX 32015 KachelY + 1 16207 -0.07219297 1.16758602 -4.136352 66.897751
    Unten rechts KachelX + 1 32016 KachelY + 1 16207 -0.07209710 1.16758602 -4.130860 66.897751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16762364-1.16758602) × R
    3.76200000000715e-05 × 6371000     		dl = 239.677020000455m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16762364-1.16758602) × R
    3.76200000000715e-05 × 6371000     		dr = 239.677020000455m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07219297--0.07209710) × cos(1.16762364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.392338615529625 × 6371000     		do = 239.635628064222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07219297--0.07209710) × cos(1.16758602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.392373218912663 × 6371000     		du = 239.656763387382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16762364)-sin(1.16758602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392338615529625-0.392373218912663)×R²
    abs(-0.07209710--0.07219297)×3.4603383037457e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.4603383037457e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.4603383037457e-05×40589641000000     		ar = 57437.68605257m²