Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 320 / 1214
↖ ↑ ↗
← S 31.653381°
W123.750000°		 ← 16.638 km → S 31.653381°
W123.574219°		 →
↑
16.625 km
↓
↑
16.625 km
↓
S 31.802893°
W123.750000°		 ← 16.611 km →
276.388 km²		 S 31.802893°
W123.574219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156494140625 y=0.593017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156494140625 × 211)
    floor (0.156494140625 × 2048)
    floor (320.5)     		tx = 320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593017578125 × 211)
    floor (0.593017578125 × 2048)
    floor (1214.5)     		ty = 1214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 320 / 1214 ti = "11/320/1214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/320/1214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 320 ÷ 211
    320 ÷ 2048     		x = 0.15625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1214 ÷ 211
    1214 ÷ 2048     		y = 0.5927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15625 × 2 - 1) × π
    -0.6875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15984495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5927734375 × 2 - 1) × π
    -0.185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.582912699379883
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15984495} λ = -2.15984495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.582912699379883))-π/2
    2×atan(0.558269923673894)-π/2
    2×0.509170300997706-π/2
    1.01834060199541-1.57079632675     		φ = -0.55245572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15984495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55245572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.653381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 320 KachelY 1214 -2.15984495 -0.55245572 -123.750000 -31.653381
    Oben rechts KachelX + 1 321 KachelY 1214 -2.15677699 -0.55245572 -123.574219 -31.653381
    Unten links KachelX 320 KachelY + 1 1215 -2.15984495 -0.55506519 -123.750000 -31.802893
    Unten rechts KachelX + 1 321 KachelY + 1 1215 -2.15677699 -0.55506519 -123.574219 -31.802893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55245572--0.55506519) × R
    0.00260947 × 6371000     		dl = 16624.93337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55245572--0.55506519) × R
    0.00260947 × 6371000     		dr = 16624.93337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15984495--2.15677699) × cos(-0.55245572) × R
    0.00306796000000009 × 0.851238379268632 × 6371000     		do = 16638.2825139471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15984495--2.15677699) × cos(-0.55506519) × R
    0.00306796000000009 × 0.849866087030189 × 6371000     		du = 16611.4597266868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55245572)-sin(-0.55506519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.851238379268632-0.849866087030189)×R²
    abs(-2.15677699--2.15984495)×0.00137229223844249×R²
    0.00306796000000009×0.00137229223844249×6371000²
    0.00306796000000009×0.00137229223844249×40589641000000     		ar = 276387531.494705m²